Geometria Analítica

Elipse

Elipse é uma curva cônica que é obtida através da interseção de um cone com um plano. Se esse plano for colocado em diferentes inclinações, é possível se obter as demais curvas cônicas: parábola e hipérbole.

A elipse também pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distancias a dois pontos fixos ( foco), é constante.

A imagem a seguir mostra a representação de uma elipse.

Elementos:

F1 e F2: Focos

C: Ponto médio entre os focos

a: eixo maior

b: eixo menor

A e B: pontos do vértice

Excentricidade: e=c/a

A excentricidade varia entre 0 e 1, quanto mais próximo de 1, for o valor da excentricidade, mais achatada será a elipse.

Através da imagem podemos observar que quanto mais próximos estiverem os focos, mais a elipse ficara semelhante a uma circunferência, o circulo é um caso particular em que a direção do plano é perpendicular ao eixo de simetria.

Em toda elipse vale a relação de Pitágoras no triangulo retângulo, onde:

a²=b²+c²

A equação reduzida da elipse é deduzida a partir dessa relação.

A equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x é dada por:

Já a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo y, é dada por:

Porém nem sempre a elipse estará com o centro na origem do sistema cartesiano, a relação com Pitágoras ainda existirá e a equação reduzida nesse caso será:

Tabela Resumo da Elipse

Características da Elipse

Centro (0,0) (0,0)

Equação Reduzida

Focos F1(-c,0) F2(c,0) F1(0,c) F2(0,-c)

Vértices V1(-a,0) V3(0,b)

V2(a,0) V4(0,-b) V1(-a,0) V3(0,b)

V2(a,0) V4(0,-b)

Distância Focal 2c 2c

Eixo Maior [V1V2] 2a [V3V4] 2b

Eixo Menor [V3V4] 2b [V1V2] 2a

Excentricidade

Directrizes y=±a/e y=±b/e

Relação entre a,b,c a2 = b2 + c2 b2 = a2 + c2

Aplicações da Elipse

Citaremos alguns exemplos onde é aplicada as definições de elipse.

1)Primeira Lei de Kepler: