Geometria Analítica

Lista de Geometria Analítica – Distância entre pontos - GABARITO

1) Dados A(5,3) e B(-1,-3), seja C a interseção da reta AB com o eixo das abscissas. Calcule a razão e determine o ponto C.

Solução. O ponto C situado no eixo das abscissas possui ordenada nula. Sua coordenada é (x, 0). A figura mostra que os triângulos indicados são semelhantes: . Calculando as distâncias, temos: .

Elevando ambos os membros ao quadrado, vem:

.

2) Determine os pontos que dividem AB em quatro partes iguais, quando A(3,-2) e B(15,10).

Solução. Considere os pontos P, Q e R, nesta ordem, entre A e B. Como a divisão é em partes iguais, temos o ponto Q é médio de AB, P é médio de AQ e R, médio de QP. Temos:

i) ii)

iii)

3) (UFF) Considere os pontos A(3,2) e B(8,6). Determine as coordenadas de P, pertencentes ao eixo X, de modo que os segmentos e tenham o mesmo comprimento.

Solução. O ponto P é da forma (x, 0). Igualando as distâncias e , temos:

Logo, C = (8.7; 0)

4) (Unifesp – SP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, -x-y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação ao mesmo sistema de coordenadas. Determine xy.

Solução. Se o mesmo ponto é representado pelas duas expressões de coordenadas, então elas são iguais. Isto é as abscissas e as ordenadas são as mesmas. Igualando as coordenadas, temos:

5) Até que ponto o segmento de extremos e deve ser prolongado no sentido para que seu comprimento triplique?

Solução. O ponto C mostrado na figura é calculado pela proporção: , onde P e Q são pontos auxiliares que geram triângulos semelhantes. Temos:

i)

ii) . Logo, C = (– 6, 1).

6) Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo cujos vértices são: A(0,0); B(3,7) e C(5,-1).

Solução. O ponto médio está sobre o lado BC. Logo, . O comprimento da mediana é a distância do vértice A ao ponto M.

7) Determine os vértices B e C de um triângulo eqüilátero ABC sabendo que o ponto médio do lado AB é e A é a origem do sistema.

Solução. Considere B(x,y). Como M é ponto médio de AB e as coordenadas de A são (0,0), temos:

Seja C = (x’,y’) o terceiro vértice. Como M é mediana de AB, temos d(A,C) = d(B,C). Não esquecendo que essa distância também é igual a d(A,B), pois o triângulo é eqüilátero. (OBS: considere )

Repare que há outro vértice simétrico a esse: C’ = (x’’,y’’). M é ponto médio de CC’.

8) Determine os valores de x para os quais a distância entre os pontos A(x+2, -3) e B(3, x-3) é 5.

Solução. Aplicando a fórmula da distância, temos:

9) Mostre que o triângulo de vértices D(0,9); E(3,2) e F(-4,-1) é retângulo. Qual é o ângulo reto?

Solução. Conhecendo as distâncias entre os vértices e utilizando o fato de ser triângulo retângulo, o ângulo reto estará no vértice oposto ao maior lado.

10) Os pontos (0,1); (3,4) e (5,-4) são vértices de um retângulo. Determine as coordenadas do quarto vértice?

Solução. Um retângulo possui lados opostos iguais. Calculando as distâncias, temos:

Verificamos que (3,4) e (5,-4) formam a diagonal. As diagonais cortam-se ao meio. Calculando o ponto médio da diagonal, vem: . Esse ponto também será médio entre (0,1)