Geometria não Euclidiana

GEOMETRIA EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANA

Leandro Correia Araújo

RESUMO

Muitas vezes nos perguntamos como a matemática se tornou o que é atualmente, nem sempre lembramos que foi através do árduo trabalho de muitos pesquisadores e filósofos, que passaram anos discutindo sobre teorias e conjecturas anteriores e em desenvolvimento em sua época. Referindo-se a matemática lembramos muito das equações e números, por vezes passando por despercebido que a geometria também é parte da matemática. A geometria teve papel importante na evolução da matemática como ciência, sendo considerada um dos pilares fundamentais da matemática (conjuntamente com a álgebra e a aritmética). Por milhares de anos a proposta geométrica apresentada por Euclides foi aceita, sendo questionada por poucos, mas após muitas tentativas frustradas, foi necessário que os matemáticos aderissem a outras propostas, sempre referentes ao quinto postulado, matemáticos renomados se viram obrigados a buscar outros meios para contornar a lacuna deixada pelo quinto postulado, nasceram então as Geometrias não euclidianas.

Palavras-chave: Geometria não euclidiana; Geometria elíptica; Geometria hiperbólica;

1 INTRODUÇÃO

O avanço do homem foi devido, em grande parte, ao avanço da sua compreensão da matemática. A forma como ele se relaciona com o ambiente e como isso pode ser calculado deu origem à geometria, ramo da matemática destinado à análise do espaço e das figuras que nele se encontram. A geometria tornou-se fundamental para o desenvolvimento do ser humano e viveu momentos contraditórios como em todos os ramos científicos. O desenvolvimento da geometria sempre foi de suma importância para a matemática, desde a elaboração dos seus principais postulados ao nascimento da Geometria Analítica (Estudo da geometria através do plano cartesiano), com Descartes e Fermat, algumas vezes os matemáticos se depararam com situações onde estes não conseguiram compreender o problema que lhes foi apresentado, a história mostra ainda que muitos deixaram de arriscar por medo das consequências da não aceitação de sua tese.

Ainda outros arriscaram mesmo assim, alguns sofreram certo desprezo pela comunidade científica da época, tendo sido reconhecidos posteriormente, outros conseguiram mostrar que estavam certos e quebraram barreiras que antes aparentavam ser absolutas. Conforme os matemáticos se viram mais convictos de que a geometria teria de sofrer mudanças, mais teorias foram ganhando força e se propagando cada vez mais.

2 A HISTÓRIA DA GEOMETRIA E EUCLIDES

Sabe-se que a geometria nasceu na antiguidade, possivelmente até na pré-história, mas praticamente não existem registros escritos sobre a geometria naquela época, o que infelizmente não permite saber quando, como e quem criou alguns conceitos, com a necessidade diária na construção de casas, aferimento de terrenos e impostos, observar o movimento de astros, entre outros.

Acredita-se que a geometria nasceu com a medição de terrenos, o nome geometria vem do grego geometrein e significa medir a terra (geo = terra, metrein = medir). Muito estudada pelos pitagóricos, grupo de intelectuais que se reuniam para discutir e ensinar suas descobertas científicas, a geometria difundiu-se bastante através do famoso teorema de Pitágoras (c² = a² + b²). Pitágoras foi um grande matemático grego, que elucidou o problema sobre os vértices do triângulo retângulo, além de ser o fundador da escola pitagórica, que formou outros grandes matemáticos e filósofos da época. Além do teorema de Pitágoras, os pitagóricos descobriram também a regra de ouro, ou número de ouro, através do estudo de pentágonos e pentagramas. A regra de ouro foi e ainda é utilizada amplamente na arquitetura e nas artes mais variadas, tendo fundamental importância para o desenvolvimento humano, este número também é muito encontrado na natureza, principalmente pela sua característica.

Euclides foi um matemático possivelmente nascido na Grécia, viveu em Alexandria e é conhecido por sua obra Os Elementos, onde reuniu todo o conhecimento sobre geometria da época e organizou tudo sistematicamente, facilitando o entendimento e o estudo da geometria. Pouco se sabe sobre a vida de Euclides, também por causa do incêndio da biblioteca de Alexandria, onde muitos livros e relatos foram perdidos. Importante salientar que a maioria dos teoremas e proposições encontradas em Os Elementos não são de autoria do mesmo, mas devido a sua importância cientifica, Euclides ficou conhecido como o ‘Pai da Geometria’.

3 OS ELEMENTOS

Os Elementos é um conjunto de 13 livros matemáticos, baseados principalmente na geometria e na física, escrito por volta de 300 a.C. e considerado o livro científico mais reproduzido de toda a história, e ficando atrás apenas da bíblia. Segundo Pombo (2008):

Os Elementos de Euclides têm uma importância excepcional na história das matemáticas. Com efeito, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas antes como um sistema lógico. As definições, os axiomas ou postulados (conceitos e proposições admitidos sem demonstração que constituem os fundamentos especificamente geométricos e fixam a existência dos entes fundamentais: ponto, recta e plano) e os teoremas não aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos numa ordem perfeita. Cada teorema resulta das definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma demonstração rigorosa.

Seus 13 livros são divididos de acordo com o conteúdo que possuem:

I a IV são referentes à geometria plana elementar, onde se trabalha ainda com o Teorema de Pitágoras e com o número de ouro. Com definições simples e objetivas, sem exemplos ou comentários, ele estabelece os postulados geométricos – Postular: Requerer, com base em documentos. Ximenes (2000) – através de cinco proposições geométricas:

1. Dados dois pontos distintos, há um segmento de reta que os une;

2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, é possível construir um círculo com o centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;

4. Todos os ângulos retos são iguais;

5. Se uma linha reta cortar duas