Geometria não Euclidiana

INTRODUÇÂO

Geometria não euclidiana

Segundo o site http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_não_euclidiana. A geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema axiomático distinto da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as geometrias elíptica e hiperbólica. Na geometria elíptica não há nenhuma reta paralela à inicial, enquanto que na geometria hiperbólica existe uma infinidade de retas paralelas à inicial que passam no mesmo ponto. Na geometria elíptica a soma dos ângulos internos de um triangula é maior que dois ângulos retos, enquanto na geometria hiperbólica esta soma é menor que dois ângulos retos. Na hiperbólica temos que a circunferência de um círculo é menor do que PI vezes o seu diâmetro, enquanto na hiperbólica esta circunferência é maior que PI vezes o diâmetro.

Geometria Hiperbólica

Segundo o site http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_hiperbólica a geometria hiperbólica (também chamado geometria Lobachevskian ou geometria Bolyai - Lobachevskian ) é uma geometria não-euclidiana , o que significa que o postulado das paralelas da geometria euclidiana é substituído. O postulado das paralelas na geometria euclidiana é equivalente à afirmação de que, no espaço bidimensional, para qualquer R linha e o ponto P não em R, não é exatamente uma linha através de P que não se cruzam R , ou seja , que é paralela à R. na geometria hiperbólica , existem pelo menos duas linhas distintas através de P que não se cruzam R, de modo que o postulado das paralelas é falso. Os modelos foram construídos dentro de geometria euclidiana que obedecer aos axiomas da geometria hiperbólica, provando assim que o postulado das paralelas é independente dos outros postulados de Euclides (assumindo que os outros postulados são de fato consistentes). Porque não há nenhuma analogia hiperbólica preciso para linhas paralelas euclidianas, o uso hiperbólico de termos paralelo e relacionado varia entre os escritores. Neste artigo, as duas linhas limitantes são chamada assintótica e linhas compartilham de uma perpendicular comum são chamados ultra-paralela , a palavra simples paralelo pode aplicar-se tanto . Uma propriedade característica da geometria hiperbólica é que os ângulos de um triângulo adicionar menos do que um ângulo reto. No limite, como os vértices de ir para o infinito, existem triângulos hiperbólicas mesmo ideais em que todos os três ângulos são 0º.

Segundo o site http://matematicartedastrevas.blogspot.com.br/2010/06/geometria-nao-euclidiana-e-as-barreiras.html. A geometria hiperbólica é baseada na ruptura do quinto postulado de Euclides, isto é, ela reza justamente o contrário do que diz esse axioma, principalmente em se tratando da parte em que diz que por um ponto P fora de uma reta r só pode ser traçado uma reta paralela a esta. Em outras palavras, esse tipo de geometria não só diz que é possível traçar várias retas em P paralelas a r e sem intersectá-la, mas também possibilita aberrações angulares, propiciando até mesmo a soma dos ângulos internos de um triângulo ser menor que 180°, pois baseia-se no mundo esférico.

Notamos que as retas r e s passam pelo ponto P sem, contudo, passarem pela reta t, mais abaixo. Vale notar que as retas são construídas num modelo esféricas o que torna realmente as retas curvas.

De maneira análoga à anterior é fácil observar que ao se desenhar sob uma superfície esférica, como por dentro de uma laranja, um triângulo ABC, ele ficará mais ou menos no aspecto

Geometria Esférica

Segundo o site http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria. A geometria esférica é a geometria da superfície bi-dimensional duma esfera. É um exemplo de geometria não euclidiana. Na geometria plana os conceitos básicos são ponto e a linha. Na esfera, os pontos estão definidos no sentido usual. Os equivalentes das linhas não estão definidos no sentido usual da "linha reta" sim no sentido de "as trajetórias mais curtas entre os pontos", o qual é chamada geodésica. Na esfera as geodésicas são os grandes círculos, assim que os outros conceitos geométricos são definidos como na geometria plana, mas com as linhas substituídas pelos grandes círculos. Assim, na geometria esférica os ângulos estão definidos entre os grandes círculos, resultando numa trigonometria esférica que diferencie da trigonometria ordinária em muitos aspectos (por exemplo, a soma dos ângulos interiores dum triângulo excede os 180 graus).

A geometria esférica é o modelo mais simples da geometria elíptica, na qual numa linha não tem nenhuma linha paralela através de um ponto dado. Em contraste com a geometria hiperbólica, na qual uma linha tem duas paralelas, e um número infinito de ultra paralelo, através de um ponto dado.

A geometria esférica tem importantes aplicações práticas