Hipérbole Conicas

Introdução

Para começarmos precisamos conhecer a definição de cónica. As cônicas são simplesmente uma das partes essenciais do estudo da Matemática.

Começaram a ser estudadas no século III antes de Cristo, com o interesse inicial de resolver três problemas clássicos. Apolónio foi quem denominou por elipse, hipérbole e parábola, as diferentes cónicas.

Mas o que será uma secção cónica?

Uma secção cónica é uma curva que resulta da interseção entre um plano e uma superfície cónica assente numa base circular, que se estende indefinidamente através do seu vértice em ambas as direções.

Existem cinco tipos possíveis de secções cónicas: a elipse, a hipérbole, a parábola, a circunferência, sendo que este último, um caso particular da elipse.

Elipse:

A elipse é o conjunto dos pontos de um plano, tais que a soma das distâncias desses pontos é sempre igual a 2a.

Em alguns casos, pode-se considerar a circunferência como caso especial da elipse, quando a sua excentricidade (desvio do centro) é nula, sendo que neste caso, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.

A elipse tem dois focos, que no caso da circunferência são sobrepostos.

Os eixos de simetria da elipse são x=0 e y=0.

As medidas da elipse são dadas pela metade do eixo maior, chamado semi-eixo maior (2a), e pela metade do eixo menor (2b) denominado por semi-eixo menor.

Equação de uma elipse com centro na origem e eixo maior horizontal:

Equação de uma elipse com centro na origem e eixo maior vertical:

Parábola:

A parábola pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz), sendo a parábola uma curva plana.

A sua expressão designa-se: f(x)=x^2

Hipérbole:

A hipérbole é o conjunto de todos os pontos coplanares, para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante. Uma hipérbole é equilátera quando as medidas dos semieixos real e imaginário são iguais. Esta também contém assíntotas.

O que é a hipérbole?

A hipérbole está directamente relacionada com as funções de proporcionalidade inversa. Por isso começaremos por falar um pouco da proporcionalidade inversa.

A função é inversamente proporcional quando o produto de duas variáveis é constante e diferente de zero.

Supondo que x e y são variáveis inversamente proporcionais, temos:

x .y = k, k constante de proporcionalidade (diferente de 0 )

Sendo assim podemos concluir que, quando uma das variáveis, x ou y, aumenta certo número de vezes, a outra diminui, obrigatoriamente, esse certo número de vezes.

A representação gráfica de uma função de proporcionalidade inversa corresponde a uma curva a que se dá o nome de ramo da hipérbole.

Definição de hipérbole:

Uma hipérbole é um tipo de cónica que é caracterizada por ter dois ramos e dois focos. Mas afinal o que são focos e ramos?

Um foco são dois pontos no grafico que se encontram à mesma distancia do centro.

Um ramo da hipérbole é o conjunto de pontos (no gráfico) em que estes se encontram dispostos sobre uma curva.

Quais as propriedades da hipérbole?

Para explicarmos as propriedades da hiperbole iremos usar um exemplo para facilitar a explicação.

O gráfico possui dois focos (F1 e F2);

Posuí uma distancia focal, em que consiste na distancia de um foco (F1) ao outro foco (F2);

A função contém um centro que é o ponto médio dos focos, ou seja, (F1+F2)/2= c;

Tem dois vértices (A1 e A2) em que a distância de um ponto ao outro se designa de eixo real (designa-se de eixo real porque conseguimos visualizar onde a reta começa e termina);

Os outros dois vértices (B1 e B2) a distância entre eles designa-se de eixo imaginário (porque a sua visualização completa é impossivel);

Se repararmos bem na figura, vemos que a distância de um vértice (Ex: A1) ao centro (que podemos designar por a) é perpendicular à distância de B1 ao centro (que podemos designar por b), formando assim um triângulo retângulo. Podemos assim dizer:

a^2+b^2=c^2

A o valor de c é igual ao valor de cada foco, pois o comprimento do segmento de reta de c e do foco é igual.

Equação da hipérbole:

Equação da hiperbole com o centro (0;0)

Equação da hipérbole de centro (0;0 ) e com eixo real sobre o Ox:

x^2/a^2