Conicas

Cônicas

As circunferências e as cônicas (elipse, hipérbole e parábolas) são curvas que também podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obedecida pelos seus pontos de descrita por meio de uma equação de duas variáveis.

A circunferência e a elipse podem ser vistas a partir de seções de um cilindro circular; a elipse não passa de uma circunferência alongada em uma das duas direções.

Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como seções de uma superfície cônica.

Elipse

Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.

Assim é que temos por definição:

PF1 + PF2 = 2 a

Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.

O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição,

a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equações reduzidas da elipse

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos.

Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:

PF1 + PF2 = 2.a

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:

b2.x2 + a2.y2 = a2.b2, onde b2 = a2 – c2

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

Veja a figura abaixo, que é elucidativa:

NOTAS:

1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse.

2 – o eixo B1B2 é denominado eixo menor da elipse.

3 – é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abscissa de um dos focos da elipse.

4 – como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.

5 – o ponto (0,0) é o centro da elipse.

6 – se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse passa a ser:

Circunferência

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação padrão da da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Equação reduzida

Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0) ), teremos : x2 + y2 = r2 .

Equação geral

Desenvolvendo a equação padrão, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação padrão da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Hipérbole

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:

A figura obtida é uma hipérbole.

Observação: Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

• Focos: os pontos F1 e F2

• Vértices: os pontos A1 e A2

• Centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de

• Semi-eixo real: a

• Semi-eixo imaginário: b

• Semidistância focal: c

• Distância focal:

• Eixo real:

• Eixo imaginário: