Homem E Sociedade - Unidade I

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO MARANHÃO

CAMPUS SÃO LUÍS- MONTE CASTELO

DEPARTAMENTO DE ELETROELETRÔNICA

PROFESSOR: AIRTON AUGUSTO DOS ANJOS COSTA

CURSO: ELETROMECÂNICA/TURMA: 408/ CONCOMITANTE

ALUNOS:

CARLIZANDRA ASSUNÇÃO DANTAS

ELIELKER LIMA ALVES

DENISON DIONE SOUSA DA SILVA

FHABRYCIO SANTOS RAMOS

ISAC SOARES TEIXEIRA

MEDIDAS ELÉTRICAS- EXPERIÊNCIA III

MEDIÇÃO DE GRANDEZAS TRIFÁSICAS

SÃO LUÍS

12.12.13

INTRODUÇÃO:

Existem métodos de se obter a potência ativa e reativa em sistemas polifásicos utilizando wattímetros. Para medir potência ativa, é usado o método dos três wattímetros para sistemas a quatro fios, para cargas equilibradas ou não. E o método dos dois wattímetros, sem o neutro, para cargas desequilibradas ou não. Também é possível medir potência reativa usando wattímetros, mas diferente do outro método não utiliza o neutro. Podemos considerar os métodos separadamente.

Medida de potência ativa de sistemas polifásicos:

Método dos Três Wattímetros:

Neste método os wattímetros são ligados, de forma que cada instrumento receba a corrente da sua respectiva fase, assim como, a tensão, que é obtida pela fase que é instalada e o neutro. Este método pode ser usado para cargas equilibradas como desequilibradas, mas tem que haver o neutro, principalmente em cargas desequilibradas. Desta forma é obtida a potência ativa trifásica pela soma:

P=W_1+W_2+W_3

Método dos Dois Wattímetros:

Em circuitos equilibrados ou não, preferencialmente sem o neutro, pois funcionará apenas em cargas equilibradas. Utiliza apenas as três fases, e deve ser observado se deverá acontecer uma soma ou subtração. É obtida a expressão:

P=W_1±W_2

Medida de potência reativa de sistemas polifásicos usando wattímetros:

Usando três wattímetros:

O instrumento recebe a corrente da sua respectiva fase, mas a de tensão é conectada nas duas outras fases. E pode ser usado tanto para cargas desequilibrada a três ou quatro fios, equilibradas ou não, e o neutro não é usado. A potência reativa do circuito é dada:

Q=(W_1+W_2+W_3)/√3

OBJETIVOS:

Efetuar medições diretas de tensão, corrente, potência ativa e reativa, em circuitos trifásicos, com cargas ligadas em estrela, com e sem neutro, equilibradas ou desequilibradas.

Analisar os resultados, e determinar os erros.

MATERIAL UTILIZADO:

Bancadas de medidas elétricas e suas respectivas cargas.

Instrumentos analógicos: voltímetro, amperímetro, wattímetro.

Alicate volt-amperímetro.

Cabos.

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL:

Foram montados circuitos com cargas resistivas e indutivas, ligadas em estrela, alimentadas por três fases, e o neutro. Mas em certos momentos as cargas estavam equilibradas ou desequilibradas, com ou sem o neutro.

Cargas equilibradas

Sendo as cargas resistivas iguais a 100Ω, e as indutâncias de 300mH, foram ligadas de acordo com a figura abaixo:

Medindo tensão, corrente, e potência ativa.

Como o laboratório possuía apenas um alicate volt-amperímetro, foram anotadas apenas as grandezas obtidas com os instrumentos analógicos. E para obter a potência ativa do circuito foi usado o método dos Três Wattímetros.

Este método como já foi mencionado, consiste em ligar as bobinas de potencial em paralelo com a carga, e a de corrente em serie. Sendo três, cada um é ligado desta forma, a figura a seguir ilustra o método.

E com os amperímetros e voltímetros instalados, em cada ponto de medição conveniente, foram obtidas as grandezas abaixo:

TABELA 01

Tensões

VL Vϕ V1 V2 V3

208V 122V 120V 120V 118V

Correntes

I1 I2 I3 IN

0,8A 0,75A 0,725A 0A

Potências

W1 W2 W3

70W 50W 60W

Por suposição, se o circuito acima na verdade é um conjunto de três circuitos monofásicos. A potência ativa de um circuito monofásico é facilmente encontrada:

P_1=V_ϕ I_ϕ cos⁡(θ_(i_ϕ)^(v_ϕ ) )

Desta forma para obter a potência ativa do circuito trifásico, basta somar a potência de cada um, desta forma, vêm:

P=P_1+P_2+P_3

Tomando os valores da tabela acima e substituindo na equação acima, é obtida a potência ativa:

P=70W+50W+60W=180W

Carga equilibrada, sem neutro:

Permanecendo a ligação, da figura 01, a colocação dos instrumentos, voltímetros e amperímetros, e se utilizando do método dos três wattímetros, figura 02. Foi retirado o quarto fio o neutro, e com esta ação foi observado o comportamento do circuito, através dos instrumentos. A tabela abaixo contém as grandezas.

TABELA 02

Tensões

VL Vϕ V1 V2 V3

208V 122V 117V 124V 121V

Correntes

I1 I2 I3 IN

0,775A 0,775A 0,725A 0A

Potências

W1 W2 W3

60W 60W 60W

Calculando a potência ativa trifásica se obtém:

P=60W+60W+60W=180W

Bastaria multiplicar a potência ativa obtida em um instrumento por três que seria obtida a potência ativa do circuito trifásico. Desta forma se conclui, em um circuito trifásico de cargas equilibradas, é necessário apenas um wattímetro, pois basta multiplicar o valor de sua leitura por três. No caso o instrumento ligado como o instrumento (W1) da figura 02.

Além disso, com os dados é percebido que os valores destes praticamente não se alteram, demonstrando que em um circuito de impedâncias iguais, não se faz a necessidade de instalação do quarto condutor, o neutro, adotando que as cargas são perfeitamente iguais, algo impossível. Além disso, retirando o neutro é obtido um circuito estrela sem neutro, com as bobinas de potencial do instrumento, como as bobinas de potencial possuem impedâncias semelhantes, a tensão em cada uma destas é igual. Como as cargas também são impedâncias iguais, não ocorre o erro no método dos Três Wattímetros, quando é retirado o neutro.

Por isso necessariamente o método dos três wattímetros deve possuir o quarto condutor, principalmente quando as cargas forem diferentes entre si.

Método dos Dois Wattímetros, carga equilibrada sem neutro.

Utilizando ainda o circuito da figura 02, mas sem o neutro, foram refeitas as ligações de dois dos wattímetros usados anteriormente, para se obter o método dos dois wattímetros, que está ilustrado, na figura abaixo.

Nos instrumentos instalados foram obtidas as seguintes leituras:

TABELA 03

Tensões

VL Vϕ V1 V2 V3

210V 120V 120V 120V 120V

Correntes

I1 I2 I3 IN

0,775A 0,775A 0,725A 0A

Potências

W1 W2

40W 140W

As tensões e correntes permanecem as mesmas, e como as leituras dos dois wattímetros é positiva, basta soma suas leituras para obter a potência ativa total do circuito.

P=P_1+P_2=40W+140W=180W

Comparando o resultado com os itens anteriores, que utilizam o método dos três wattímetros, não houve alteração no valor da potência ativa.

Método dos Três Wattímetros para obter potência reativa:

Refazendo novamente as ligações dos instrumentos de medida de potência ativa, é possível obter uma configuração que se torna possível encontrar a potência reativa do circuito. Este método pode ser observado na figura.

Na figura o neutro foi inserido, mas este não se torna necessário para o método, quando se trata da ligação dos instrumentos.

Foram obtidas leituras nos instrumentos, no circuito com e sem neutro, desta forma se obtém a tabela, sendo que as tensões e correntes permaneceram iguais aos valores obtidos nas tabelas 01 e 02, não foi necessário inserir estes dados na tabela abaixo.

TABELA 04

Potências

Com neutro

W1 W2 W3

110VAR 110VAR 110VAR

Sem neutro

W1 W2 W3

110VAR 110VAR 110VAR

É perceptível que não houve alteração quando se retirou o neutro, isso acontece devido à carga está equilibrada.

Neste método a potência reativa é encontrada da seguinte maneira.

Como são wattímetros e a tensão na bobina de potencial é de linha, é obtido.

W=W_1+W_2+W_3=Q√3

Q=(W_1+W_2+W_3)/√3=(110〖VA〗_R+110〖VA〗_R+110〖VA〗_R)/√3=(3×110〖VA〗_R)/√3=190,5〖VA〗_R

Ocorreu a multiplicação, dos valores obtidos, por três por conta das cargas estarem equilibradas.

Cargas desequilibradas:

Foi montado um novo circuito, aproveitando as resistências e indutâncias do primeiro circuito.

Medindo tensão, corrente, e potência ativa.

Nos itens que foram feitos, descritos a seguir, as tensões e correntes não se alteraram, desta forma, se constrói a tabela:

TABELA 05

Tensões

VL Vϕ V1 V2 V3

Com Neutro 210V 120V 120V 120V 120V

Sem Neutro 210V 120V 150V 160V 60V

Correntes

I1 I2 I3 IN

Com Neutro 1,25A 1,2A 0,75A 1,2A

Sem Neutro 1,55A 1,55A 0,5A 0A

Como a carga está desequilibrada, com o neutro a tensão em cada impedância permanece igual às outras, a corrente, no entanto não, e por conta disso o neutro passa a ter certa corrente. Quando se retira o neutro, as tensões de fase no sistema de cargas, ligadas em estrela, passam a ser diferente uma das outras, alem da corrente, que tenta se equilibrar.

Método dos Três Wattímetros:

Foi utilizado novamente o método, já mencionado, e a ligação é a mesma que pode ser vista na figura 02. A única mudança são as cargas. Com os dados foi obtida a tabela:

TABELA 06

Potências

W1 W2 W3

Com Neutro 160W 20W 60W

Sem Neutro 240W 30W 20W

Obtém-se a potência:

Com neutro:

P=160W+20W+60W=240W

Sem neutro:

P=240W+30W+20W=290W

Isso demonstra que o método é bem sucedido quando o sistema possui neutro, pois como já mencionado, retirando o neutro, as bobinas de potencial, não possuem mais tensões iguais da carga, mais tensões iguais entre si, pois as bobinas possuem impedâncias iguais entre si. E como sem neutro as tensões nas cargas são diferentes, a potência ativa encontrada está errada. Logo a potência consumida pelas cargas é 240W, não 290W.

Método dos Dois Wattímetros, carga desequilibrada.

A ligação dos wattímetros para se obter o método, está na figura 03. E com os valores obtidos é construída a tabela:

TABELA 07

Potências

W1 W2

Com Neutro 230W 140W

Sem Neutro 210W 80W

Com neutro:

P=230W+140W=370W

Sem neutro:

P=210W+80W=290W

O método não funciona com neutro.

Método dos Três Wattímetros para obter potência reativa:

Foram instalados os três wattímetros da mesma forma da figura 04. Para se obter a potência reativa. E com as leituras se obtém:

TABELA 06

Potências

W1 W2 W3

Com Neutro 0VAR 250VAR 110VAR

Sem Neutro 240VAR 30VAR 20VAR

Com neutro:

Q=(W_1+W_2+W_3)/√3=(0〖VA〗_R+250〖VA〗_R+110〖VA〗_R)/√3=207,8〖VA〗_R

Sem neutro:

Q=(W_1+W_2+W_3)/√3=(240〖VA〗_R+30〖VA〗_R+20〖VA〗_R)/√3=167,4〖VA〗_R

Fazendo a análise do circuito:

Primeiramente considerar o diagrama fasorial, das tensões, em uma fonte estrela:

Do diagrama se obtém as tensões:

VAN como referência VAB como referência

V_AN=V_ϕ∠0° V_AB=V_L∠30° V_AB=V_L∠0°

V_BN=V_ϕ∠-120° V_BC=V_L∠-90° V_BC=V_L∠-120°

V_CN=V_ϕ∠120° V_CA=V_L∠150° V_CA=V_L∠120°

Cargas equilibradas, com e sem neutro:

Primeiramente obter as reatâncias, como as cargas são iguais logo estas também são, daí:

X_R1=X_R2=X_R3=R_1=R_2=R_3=100Ω

X_L1=X_L2=X_L3=ωL=2πf=(2π)(60Hz)(300mH×〖10〗^(-3)=113Ω

As impedâncias, do circuito da figura 01. Como são iguais.

Z_1=Z_2=Z_3=100+j113 [Ω]=150,9Ω∠48,51°

Assim são obtidas as correntes:

I_1=V_AN/Z_1 =(127V∠0°)/(150,9Ω∠48,51°)=841mA∠-48,51°

I_2=V_BN/Z_2 =(127V∠-120°)/(150,9Ω∠48,51°)=841mA∠-168,51°

I_3=V_CN/Z_3 =(127V∠120°)/(150,9Ω∠48,51°)=841mA∠71,48°

A potência ativa pode ser encontrada através do método dos Três Wattímetros:

P_1=V_AN I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){cos⁡[0°-(-48,51°)] }=70,7W

P_2=V_BN I_2 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){cos⁡[-120°-(-168,51°)] }=70,7W

P_3=V_CN I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){cos⁡[120°-(71,48°)] }=70,7W

Basta somar e obteremos a potência, observando os resultados é constatado que em um circuito em que as cargas estão equilibradas, basta multiplicar uma leitura por três:

P=P_1+P_2+P_3=3×P_1=212,3W

A potência reativa pode ser encontrada de forma semelhante como acima:

Q_1=V_AN I_1 sin⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){sin⁡[0°-(-48,51°)] }=80〖VA〗_R

Q_2=V_BN I_2 sin⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){sin⁡[-120°-(-168,51°)] }=80〖VA〗_R

Q_3=V_CN I_3 sin⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){cos⁡[120°-(71,48°)] }=80〖VA〗_R

Q=Q_1+Q_2+Q_3=3×Q_1=240,1〖VA〗_R

Potência aparente:

S=√((P^2+Q^2 ) )=320,5VA

S=V_AN I_1+V_BN I_2+V_CN I_3=106,8VA+106,8VA+106,8VA=320,5VA

Fator de potência:

F_P=P/S=212,3W/320,5VA=0,662

Por isso no método dos Dois Wattímetros, ocorreu a soma e não a subtração, pois o fator de potência foi maior que 0,5.

Através do método dos Dois Wattímetros:

Da figura 03, vem:

P_1=V_AB I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(841mA){cos⁡[0°-(-48,51°)] }=122,5W

P_2=V_CA I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(841mA){cos⁡[120°-(71,48°)] }=122,5W

P=P_1+P_2=245,15W

Método dos Três Wattímetros, para medir potência reativa:

W_1=V_BC I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(841mA){cos⁡[-90°-(-48,51°)] }=138〖VA〗_R

W_2=V_CA I_2 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(841mA){cos⁡[150°-(-168,51°)] }=138〖VA〗_R

W_3=V_AB I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(841mA){cos⁡[30°-(71,48°)] }=138〖VA〗_R

Q=(W_1+W_2+W_3)/√3=(3×138〖VA〗_R)/√3=240,1〖VA〗_R

Não foi necessário considerar a retirada do neutro, pois quando se trata de cargas equilibradas, o neutro perde sua importância, pois as correntes e tensões são iguais, e estão defasadas entre si igualmente, correntes e tensões.

Cargas desequilibradas:

Obter as reatâncias:

X_R1=X_R2=R_1=R_2=100Ω

X_L1=X_L2=ωL=2πf=(2π)(60Hz)(300mH×〖10〗^(-3)=113Ω

As impedâncias, do circuito da figura 05:

Z_1=R∠0°=R+j0 [Ω]=100Ω∠0°

Z_2=X_L1∠90°=0+jX_L1 [Ω]=113Ω∠90°

Z_3=100+j113 [Ω]=150,9Ω∠48,51°

Com neutro:

Assim são obtidas as correntes:

I_1=V_AN/Z_1 =(127V∠0°)/(100Ω∠0°)=1,27A∠0°

I_2=V_BN/Z_2 =(127V∠-120°)/(113Ω∠90°)=1,12A∠-210°

I_3=V_CN/Z_3 =(127V∠120°)/(150,9Ω∠48,51°)=0,841A∠71,48°

A potência ativa pode ser encontrada através do método dos Três Wattímetros:

P_1=V_AN I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(1,27A){cos⁡[0°-0°] }=161,29W

P_2=V_BN I_2 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(1,12A){cos⁡[-120°-(-210°)] }=0W

P_3=V_CN I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){cos⁡[120°-(71,48°)] }=70,7W

P=P_1+P_2+P_3=232W

A potência reativa pode ser encontrada de forma semelhante como acima:

Q_1=V_AN I_1 sin⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(1,27A){sin⁡[0°-0°] }=0〖VA〗_R

Q_2=V_BN I_2 sin⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(1,12A){sin⁡[-120°-(-210°)] }=142〖VA〗_R

Q_3=V_CN I_3 sin⁡(θ_v-θ_i )=(127V)(841mA){cos⁡[120°-(71,48°)] }=80〖VA〗_R

Q=Q_1+Q_2+Q_3=222〖VA〗_R

Potência aparente:

S=√((P^2+Q^2 ) )=321,5VA

Fator de potência:

F_P=P/S=232W/321,5VA=0,721

Através do método dos Dois Wattímetros:

P_1=V_AB I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(1,27A) cos⁡〖(0°)〗=279,36W

P_2=V_CA I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(0,841A){cos⁡[120°-(71,48°)] }=122,5W

P=P_1+P_2=401,93W

Com este resultado é possível perceber que o método falha quando se insere o neutro.

Método dos Três Wattímetros, para medir potência reativa:

W_1=V_BC I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(1,27A){cos⁡[-90°-0°] }=0〖VA〗_R

W_2=V_CA I_2 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(841mA){cos⁡[150°-(-210°)] }=247〖VA〗_R

W_3=V_AB I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(841mA){cos⁡[30°-(71,48°)] }=138〖VA〗_R

Q=(W_1+W_2+W_3)/√3=((247+138)〖VA〗_R)/√3=222〖VA〗_R

Corrente no neutro:

I_N=I_1+I_2+I_3=(1,27-0,97+0,26)+j(0+0,56+0,79)=1,47A∠67,43°

Sem o neutro:

Com as cargas desequilibradas as tensões de fase assumem valores diferentes entre si, mas as tensões de linha permanecem as mesmas. Trabalhando nesta hipótese, e observando o desenho abaixo, será possível determinar as correntes de cada carga.

Pela figura é obtido, e pela primeira lei de Ohm:

{█(V_AB=V_AN-V_BN@V_BC=V_BN-V_CN@V_CA=V_CN-V_CA )┤ se,{█(V_AN=I_AN Z_1@V_BN=I_BN Z_2@V_CN=I_CN Z_3 )┤ inplica,{█(V_AB=I_AN Z_1-I_BN Z_2@V_BC=I_BN Z_2-I_CN Z_3@V_CA=I_CN Z_3-I_AN Z_1 )┤

Adotando o ponto n como nó, pela lei de Kirchhoff das correntes, e pelo circuito como, além da imagem acima, é obtido:

I_AN+I_BN+I_CN=0

Isolando ICN, e substituindo no sistema acima:

I_CN=-(I_AN+I_BN ) (eq.01)

{█(V_AB=I_AN Z_1-I_BN Z_2@V_BC=I_BN Z_2+(I_AN+I_BN)Z_3@V_CA=-(I_AN+I_BN)Z_3-I_AN Z_1 )┤ ⇒{█(V_AB=I_AN Z_1-I_BN Z_2@V_BC=I_BN Z_2+I_AN Z_3+I_BN Z_3@V_CA=-I_AN Z_3-I_BN Z_3-I_AN Z_1 )┤ ⇒{█(V_AB=I_AN Z_1-I_BN Z_2@V_BC=I_AN Z_3+I_BN (Z_2+Z_3 )@V_CA=I_AN (-Z_3-Z_1 )-I_BN Z_3 )┤

Tomando o sistema:

{█(V_BC=I_AN Z_3+I_BN (Z_2+Z_3 )@V_CA=I_AN [-(Z_3+Z_1 )]+I_BN (-Z_3))┤

Sendo um sistema de Cramer, AX=B, sendo:

A=(■(Z_3&(Z_2+Z_3 )@-(Z_3+Z_1 )&-Z_3 )) , X=(■(I_AN@I_BN )) e B=(■(V_BC@V_CA ))

Por definição X=A-1B, onde é a única solução do sistema, logo é necessário achar a inversível de A, para isso é usado a definição AB=BA=In e o teorema, uma matriz é inversível se, e somente se, In~A. Assim temos:

(■(Z_3&(Z_2+Z_3 )@-(Z_3+Z_1 )&-Z_3 )│■(1&0@0&1)) L_2⟶L_2+L_1 (■(Z_3&(Z_2+Z_3 )@-Z_1&Z_2 )│■(1&0@1&1)) ■(L_1⟶@L_2⟶)■(□(1/3)Z_3 L_1@□(1/3)Z_1 L_2 )

(■(1&((Z_2+Z_3 ))/Z_3 @-1&Z_2/Z_1 )│■(1/Z_3 &0@1/Z_1 &1/Z_1 )) L_2⟶L_2+L_1

(■(1&((Z_2+Z_3 ))/Z_3 @0&(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3)/(Z_1 Z_3 ))│■(1/Z_3 &0@(Z_1+Z_3)/(Z_1 Z_3 )&1/Z_1 )) L_2⟶□((Z_1 Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 ))L_2

(■(1&((Z_2+Z_3 ))/Z_3 @0&1)│■(1/Z_3 &0@(Z_1+Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )&Z_3/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 ))) L_2⟶L_1-□((Z_2+Z_3)/Z_3 )L_2

(■(1&0@0&1)│■(-Z_3/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )&-(Z_2+Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )@(Z_1+Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )&Z_3/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )))

logo A^(-1)=(■(-Z_3/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )&-(Z_2+Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )@(Z_1+Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )&Z_3/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )))

Fazendo X=A-1B, temos:

(■(I_AN@I_BN ))= (■(-Z_3/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )&-(Z_2+Z_3)/(Z_2 Z_3+Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3 )@(Z_1+Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )&Z_3/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )))(■(V_BC@V_CA ))

(■(I_AN@I_BN ))=(■((-V_BC Z_3-V_CA (Z_2+Z_3))/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )@(V_BC (Z_1+Z_3 )+V_CA Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 ))) ⇒ {█(I_AN=(-V_BC Z_3-V_CA (Z_2+Z_3))/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )@I_BN=(V_BC (Z_1+Z_3 )+V_CA Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 ))┤

Da figura acima, e pela lei de Kirchhorff das tensões, temos:

V_AB+V_BC+V_CA=0 daí,V_AB=(-V_BC-V_CA ) ,e - V_AB=(V_BC+V_CA)

Assim:

I_AN=(-V_BC Z_3-V_CA (Z_2+Z_3 ))/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=(-V_BC Z_3-V_CA Z_2-V_CA Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=

=(Z_3 (-V_BC-V_CA)-V_CA Z_2)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=(V_AB Z_3-V_CA Z_2)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )

I_BN=(V_BC (Z_1+Z_3 )+V_CA Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=(V_BC Z_1+V_BC Z_3+V_CA Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=

=(Z_3 (V_BC+V_CA )+V_BC Z_1)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=(V_BC Z_1-V_AB Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )

Substituindo na eq.01, encontra-se ICN:

I_CN=-((V_AB Z_3-V_CA Z_2)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )+(V_BC Z_1-V_AB Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 ))

=-((V_AB Z_3-V_CA Z_2+V_BC Z_1-V_AB Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 ))=(-V_AB Z_3+V_CA Z_2-V_BC Z_1+V_AB Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=

=(V_CA Z_2-V_BC Z_1)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )

Assim encontraremos as correntes:

I_1=(V_AB Z_3-V_CA Z_2)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=

=((127√3 V∠0°)(150,9Ω∠48,51°)-(127√3 V∠120°)(113Ω∠90°))/((100Ω×113Ω∠90°)+(100Ω×150,9Ω∠48,51°)+[(113Ω×150,9Ω∠(90°+48,51°)])=(57345,26∠40,59°)/(34043,8∠94,70°)=1,684455A∠54,1047°

I_2=(V_BC Z_1-V_AB Z_3)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=

=((127√3 V∠-120°)(100Ω∠0°)-(127√3 V∠0°)(150,9Ω∠48,51°))/((100Ω×113Ω∠90°)+(100Ω×150,9Ω∠48,51°)+[(113Ω×150,9Ω∠(90°+48,51°)])=(54939,81268∠-126,91°)/(34043,8∠94,70°)=1,61379785A∠-221,6137073°

I_3=(V_CA Z_2-V_BC Z_1)/(Z_1 Z_2+〖Z_1 Z〗_3+Z_2 Z_3 )=

=((127√3 V∠120°)(113Ω∠90°)-(127√3 V∠-120°)(100Ω∠0°))/((100Ω×113Ω∠90°)+(100Ω×150,9Ω∠48,51°)+[(113Ω×150,9Ω∠(90°+48,51°)])=(12447,24565A∠147,9189°)/(34043,8∠94,70°)=0,3656244A∠53,21643317°

Tensões nas cargas, de fase:

V_(Z_1 )=Z_1×I_1=168,445V∠54,1047°

V_(Z_2 )=Z_2×I_2=182,516V∠-131,6137°

V_(Z_3 )=Z_3×I_3=55,197V∠101,7335°

As tensões de linha são iguais.

Potência ativa:

P_1=V_(Z_1 ) I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(168,445V)(1,684455A) cos⁡(54,1047°-54,1047°)=283,7W

P_2=V_(Z_2 ) I_2 cos⁡(θ_v-θ_i )=

=(182,516V)(1,61379785A){cos⁡[-131,6137°-(-221,6137073°)] }=0W

P_3=V_(Z_3 ) I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=

=(55,197V)(0,3656244A){cos⁡[101,7335°-(53,21643317°)] }=13,36W

P=P_1+P_2+P_3=297,71W

Com o método dos Dois Wattímetros, se obtém:

P_1=V_AB I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(1,68A)[cos⁡〖(54,10°)〗 ]=217,24W

Como o circuito é a três fios, e sabendo que:

V_CB=V_AB+V_CA (V_AB+V_CA)-V_CB=0

Desta forma, temos:

P_2=V_CB I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(0,36A)[cos⁡(60°-53,21°) ]=79,86W

P=P_1+P_2=297,10W

O resultado é praticamente igual ao resultado, obtido com os três Wattímetros.

Potência reativa:

Q_1=V_(Z_1 ) I_1 sin⁡(θ_v-θ_i )=(168,44V)(1,68A)[sin⁡(54,10°-54,10°) ]=0〖VA〗_R

Q_2=V_BN I_2 sin⁡(θ_v-θ_i )=

=(182,51V)(1,61A){sin⁡[-131,6137°-(-221,6137073°)] }=294,5〖VA〗_R

Q_3=V_(Z_3 ) I_3 sin⁡(θ_v-θ_i )=

=(55,197V)(0,3656244A)[sin⁡(101,7335°-53,21643317°) ]=15,1〖VA〗_R

Q=Q_1+Q_2+Q_3=309,6〖VA〗_R

Potencia aparente:

S=√((P^2+Q^2 ) )=429,1VA

Fator de potência:

F_P=P/S=297,1W/429,1VA=0,692

Método dos Três Wattímetros, para medir potência reativa:

W_1=V_BC I_1 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(1,684455A)[cos⁡(-90°-54,1047°) ]=-300,1628169〖VA〗_R

W_2=V_CA I_2 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(1,61379785A){cos⁡[150°-(-221,6137073°)] }=347,7202185〖VA〗_R

W_3=V_AB I_3 cos⁡(θ_v-θ_i )=(127√3 V)(0,3656244A)[cos⁡(30°-53,21643317°) ]=73,91380762〖VA〗_R

Q=(W_1+W_2+W_3)/√3=((-300,16+347,72+73,91)〖VA〗_R)/√3=152〖VA〗_R

É observado que o resultado é diferente do obtido, logo o método foi satisfeito no caso do circuito com neutro, agora sem o neutro, não houve uma leitura satisfatória.

Comparando os resultados:

TABELA 07

Equilibrada, com Neutro

Tensões VL Vϕ V1 V2 V3

Instrumentos 208V 122V 120V 120V 118V

Calculados 219,9V 127V 127V 127V 127V

Correntes I1 I2 I3 IN

Instrumentos 0,8A 0,75A 0,725A 0A

Calculados 841mA 841mA 841mA 0A

Potência ativa W1 W2 W3 P

Instrumentos (3W) 70W 50W 60W 180W

Calculados 70,7W 70,7W 70,7W 212,3W

Instrumentos (2W)

Calculados (2W) 122,5W 122,5W 245,15W

Potência reativa Q1 Q2 Q3 Q

Instrumentos (3W) 110VAR 110VAR 110VAR 190,5VAR

Calculados 80VAR 80VAR 80VAR 240,1VAR

Equilibrada, sem Neutro

Tensões VL Vϕ V1 V2 V3

Instrumentos 208V 122V 120V 120V 118V

Calculados 219,9V 127V 127V 127V 127V

Correntes I1 I2 I3 IN

Instrumentos 0,8A 0,75A 0,725A 0A

Calculados 1,27A 1,12A 0,841A

Potência ativa W1 W2 W3 P

Instrumentos (3W) 70W 50W 60W 180W

Calculados 70,7W 70,7W 70,7W 212,3W

Instrumentos (2W) 40W 140W 180W

Calculados (2W) 122,5W 122,5W 245,15W

Potência reativa Q1 Q2 Q3 Q

Instrumentos (3W) 110VAR 110VAR 110VAR 190,5VAR

Calculados 80VAR 80VAR 80VAR 240,1VAR

Desequilibrada, com Neutro

Tensões VL Vϕ V1 V2 V3

Instrumentos 210V 120V 120V 120V 120V

Calculados 219,9V 127V 127V 127V 127V

Correntes I1 I2 I3 IN

Instrumentos 1,25A 1,2A 0,75A 1,2A

Calculados 1,27A 1,12A 0,841A 1,47A

Potência ativa W1 W2 W3 P

Instrumentos (3W) 160W 20W 60W 240W

Calculados 161,29W 0W 70,7W 232W

Instrumentos (2W) 230W 140W 370W

Calculados (2W) 279,36W 122,5W 401,93W

Potência reativa Q1 Q2 Q3 Q

Instrumentos (3W) 0VAR 250VAR 110VAR 207,8VAR

Calculados 0VAR 142VAR 80VAR 222VAR

Desequilibrada, sem Neutro

Tensões VL Vϕ V1 V2 V3

Instrumentos 210V 120V 150V 160V 60V

Calculados 219,9V 127V 168,4V 182,5V 55,2V

Correntes I1 I2 I3 IN

Instrumentos 1,55A 1,55A 0,5A 0A

Calculados 1,68A 1,61A 0,36A 0A

Potência ativa W1 W2 W3 P

Instrumentos (3W) 240W 30W 20W 290W

Calculados 283,7W 0W 13,36W 291,7W

Instrumentos (2W) 210W 80W 290W

Calculados (2W) 217,2W 79,8W 297,1W

Potência reativa Q1 Q2 Q3 Q

Instrumentos (3W) 240VAR 30VAR 20VAR 167,4VAR

Calculados 0VAR 294,5VAR 15,1VAR 309,9VAR

Podemos calcular alguns erros relativos:

Potência ativa, equilibrada com e sem neutro:

E_%=|V_m-V_e |/V_e ×100%=|180W-212,3W|/212,3W=15,2%

Potência ativa, desequilibrada com neutro:

E_%=|V_m-V_e |/V_e ×100%=|240W-232W|/212,3W=3,4%

Potência ativa, desequilibrada sem neutro:

E_%=|V_m-V_e |/V_e ×100%=|290W-291,7W|/291,7W=0,58%

Potência reativa, equilibrada com e sem neutro:

E_%=|V_m-V_e |/V_e ×100%=|190,5VAR-240,1VA_R |/240,1VAR=20,6%

Potência reativa, desequilibrada com neutro:

E_%=|V_m-V_e |/V_e ×100%=|207,8VAR-222VA_R |/(222VA_R )=6,39%

Considerações finais:

Foi constatada a eficiência do método, dos três e dois Wattímetros, e o método dos três Wattímetros como meio de obter a potência reativa. Mas foram percebidas, as exceções, como no caso do método dos Dois Wattímetros, pois quando este é usado em um sistema de cargas desequilibradas, com neutro, se mostra ineficiente na obtenção de potência ativa.

Quanto ao de medir potência reativa, este apresenta problemas quando a carga está desequilibrada, sem neutro. Mas nos outros casos demonstra ser um ótimo método.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BOYLESTAD, Robert L. Introdução a Análise de Circuitos;

Rio de Janeiro,RJ – 1998, oitava edição; Editora Prentice-Hall do Brasil LTDA.

Apostila de medidas elétricas, SENAI, Departamento Regional do Espírito Santo, 1996, Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderúrgica de Tubarão);