Introdução à Álgebra - Homomorfismo de anéis

[pic 1]

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO[pic 2] CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

[pic 3]

Introdução à Álgebra

Lista 4: Homomorfismo de anéis.

1. Verifique se as funções abaixo são homomorfismos e diga quais são injetoras.

a) [pic 4]

b) [pic 5]

c) [pic 6]

d) [pic 7]

RESOLUÇÃO:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

2)

[pic 11]

[pic 12]

RESOLUÇÃO:

Sejam (a, b), (c, d) [pic 13]Z x Z. Assim

1. f[(a, b) + (c, d)]= f(a+c, b+d) = a+c – (b+d) = (a – b)  + (c – d) =f(a, b) + f(c, d).
2. f[(a, b). (c, d)] = f(ac, bd) = ac – bd, mas f(a, b). f(c, d) = (a – b). (c – d) = ac – ad – bc + bd.  Então f[(a, b). (c, d)] [pic 14] f(a, b). f(c, d).

Logo f não é homomorfismo.

[pic 15]

RESOLUÇÃO:

Sejam x, y [pic 16]Z. Assim

1. f(x+y) = (x+y, x+y) = (x, x) + (y, y) = f(x) + f(y).
2. f(x.y) = (x.y, x.y) = (x, x). (y, y) = f(x).f(y).

Logo f é um homomorfismo.

[pic 17]

RESOLUÇÃO:

Sejam (a, b), (c, d) [pic 18]Z x Z. Assim

1. f[(a, b) + (c, d)]= f(a+c, b+d) = (b+d, -a-c) = (b, -a) + (d, -c) = f(a, b) + f(c, d)
2. f[(a, b). (c, d)] = f(ac, bd) = (bd, -ac) , mas f(a, b). f(c, d) = (b, -a). (d, -c) = (bd, ac). Então f[(a, b). (c, d)] [pic 19] f(a, b). f(c, d).

Logo f não é homomorfismo.

[pic 20]

RESOLUÇÃO:

Sejam [pic 21]. Assim

i)

[pic 22]

ii)

[pic 23]

Então [pic 24].

Logo f não é homomorfismo.

[pic 25]

RESOLUÇÃO:

Sejam [pic 26]. Assim

i)

[pic 27]

ii)

[pic 28]

Logo f é um homomorfismo.

[pic 29]

RESOLUÇÃO:

Sejam [pic 30]. Assim

i)

[pic 31]

ii)

[pic 32]

Então

[pic 33]

Logo f não é um homomorfismo.

[pic 34]

Sejam (a, b), (c, d) [pic 35]A x A.

4) Seja H = [pic 36]. Mostre que Z[[pic 37]] [pic 38]H.

(Sugestão: Crie o isomorfismo [pic 39]tal que [pic 40] e prove isso.)

RESOLUÇÃO:

Primeiro, devemos criar uma função [pic 41] e verificar se ela é um homomorfismo.