Joao Meira

SÃO LUÍS

2013

SUPERFÍCIE QUÁDRICAS

Definição

A equação geral do 2º grau nas três variáveis x, y e z: ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q= 0, com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f ¹ 0, representa uma superfície quádrica ou simplesmente uma quádrica.

Desta equação pode derivar: Uma cônica, quando a superfície quádrica for cortada por um plano.

Ex: plano xy (z=0) ax2 + by2 + 2dxy + mx + ny + q =0

A interseção de uma superfície com um plano é chamado traço da superfície no plano.

Tipos de quádricas

Elipsoides; Hiperboloides (Hipérbole de uma Folha e Hipérbole de duas Folhas);

Cones; Paraboloides (Elíptico e Hiperbólico) e Cilindro.

Superfícies Quádricas Centradas

Se nenhum dos coeficientes for nulo, a equação padrão de uma superfície quádrica centrada é:

Desta equação podem ser originadas

três superfícies, de acordo com a variação dos sinais, dadas a seguir: Elipsoide (+, +, +); Hiperboloide (+, +, -); Hiperboloide de duas folhas (+, -, -).

Elipsoide

Todos os coeficientes na equação são positivos e a, b e c são positivos:

Denomina-se Elipsoide, já que seus traços são elipses:

Características:

Simetria em relação aos eixos coordenados e à origem; Sua intersecção com qualquer plano paralelo aos planos coordenados é uma elipse, um ponto ou um vazio. Exemplos:

Elipsoide de revolução - quando pelo menos dois dos valores de a, b ou c são iguais.

Ex: a = c = 2, b = 4 e C (0,0,0)

Como aplicação de elipsoide de revolução temos a superfície usada para definir a forma da Terra, geoide.

Hiperboloide de uma folha

A partir da equação inicial deriva-se o hiperboloide de uma folha, com dois coeficientes positivos e um negativo: .

OBS.: Sinal negativo em z: figura no eixo z. Analogamente, para sinal (-) em x e y. Denomina-se Hiperboloide de uma folha:

}HIPÉRBOLES

ELIPSE

Características:

Simetria em

relação aos eixos coordenados e à origem; Sua interseção com um plano paralelo a xOy é uma elipse; Sua interseção com um plano paralelo a yOz ou xOz é uma hipérbole.

Se a=b: hipérbole de revolução em torno de Oz

Exemplos:

Hipérbole de duas folhas:

A partir da equação inicial deriva-se o hiperboloide de duas folhas, com dois coeficientes negativos e um positivo:

OBS.: Sinal positivo em x: figura no eixo x. Analogamente, para sinal (+) em y e z.

Superfície Cônica

É uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto não situado no plano desta curva. Reta: geratriz; Curva plana: diretriz; Ponto