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Analisar a seguinte questão: Para um determinado produto, a receita

Analisar a seguinte questão: Para um determinado produto, a receita R, em reais, ao se

comercializar a quantidade x, em unidades, é dada pela função: R = - 2 x² + 1000 x. Agora

resolva as seguintes questões:

a) Calcule a derivada R´(100). Qual a unidade dessa derivada? O que ela representa

numericamente? O que ela representa graficamente?

b) Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja máxima?

c) Qual a receita máxima correspondente ao item anterior?

Derivando R = -2x² + 1000x.

- vamos chamar a derivada de R', como estamos trabalhando com uma potencia, usamos a seguinte regra:

f(x) = a^x => f '(x) = x.a^(x-1), logo:

R = -2x² + 1000x => R' = -2.2x²⁻¹ + 1.1000x¹⁻¹ => R' = -4x + 1000

a) R' (100) = -4(100) + 1000 => R'(100) = 600.

A receita esta ligada ao preço e a quantidade vendida (x), observe que quanto mais se vende (x) menos receita você terá.

b) Observe que a função receita é de 2º grau (R = -2x² + 1000x), onde a >0, logo sua concavidade está voltada para baixo. No vértice (-b/2a; -Δ/4a) está a receita máxima e a quantidade máxima a ser vendida. Logo:

- quantidade máxima p/ a receita ser máxima => x = -b/2a => x = -1000/2(-2) =>

=> x = 1000/4 => x = 250.

- a receita máxima corresponde ao ponto y do vértice => y = -Δ/4a

Δ = b² - 4ac => Δ = (1000)² - 4(-2)(0) => Δ = 1.000.000

y = -1.000.000/4(-2) => y = 1.000.000/8 => y = 125.000

Sabe-se que a equação de demanda de um produto é p = -q³ + 12q².

Sabe-se que a equação de demanda de um produto é p =

-q³ + 12q². Determine a quantidade

q e o correspondente preço p que maximiza o

faturamento

p=q³ + 12q²......derivando:

p' = -3q² + 24q........=> a=-3.....b=24

qv = -b/2a = -24/2.(-3) = -24/-6 = 4 peças

legenda:

p= xª.......=> p'=a.x^(a-1)

p= -q³......=> p' =-3.q³-¹ = -3.q²

p= 12x²...=> p' = 2.12x²-¹ = 24x¹ = 24x

qv = -b/2a é a quantidade para obter o faturamento máximo

Demonstrar a solução para seguinte situação: Quando o preço de

Demonstrar a solução para seguinte situação: Quando o preço de venda de uma determinada

mercadoria é R$ 100,00, nenhuma é vendida; quando a mercadoria é fornecida

gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1° grau ou equação da

demanda e calcule a demanda para o preço de R$ 30,00.

f(x)=Número de mercadorias vendidas.

x = preço dos produtos.

Como é uma reta. Será do tipo : f(x)=ax+b

0 = 100a+b

b=-100a

50=a.0+b

b=50

50=-100a

a=-1/2