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Definição de Fatoração

A fatoração é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores.

Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatoração:

Na sequência vemos como tratar cada um destes tipos de fatoração em particular.

A fatoração é um recurso que utilizamos na simplificação de sentenças matemáticas. Quando for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de uma fração ou de uma equação, por exemplo.

Fator Comum: ax + bx = x(a + b)

A forma mais básica de fatoração é a colocação de fatores comuns em evidência.

No exemplo abaixo o fator 5 é comum a todos os termos e por isto é possível colocá-lo em evidência:

Colocamos o fator 5 em evidência o destacando e o multiplicando pela a expressão quociente da divisão da sentença original por tal fator, inserida entre parênteses:

Exemplos

Agrupamento: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)

No tipo de fatoração por agrupamento não temos um fator que é comum a todos os termos, no entanto temos fatores que são comuns a alguns termos e outros fatores que são comuns a outros termos.

Vejamos o exemplo abaixo:

Note que o fator x é comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y é comum aos dois últimos termos, então podemos colocá-los em evidência:

Veja que ainda temos o fator (4 + 6) em comum e que também pode ser colocado em evidência:

Assim sendo:

Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os cálculos somando 4 com 6, mas o foco aqui é a fatoração em si:

No lugar dos fatores x e y, poderíamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos são comuns ao fatores 4x e4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:

E ao colocarmos o fator (x + y) em evidência, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudança na ordem dos fatores, que como sabemos não altera o produto:

Exemplos

Diferença de Dois Quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Este os próximos quatro tipos de fatoração que veremos estão relacionados aos produtos notáveis. Aos estudá-los vimos que o produto da soma pela diferença de dois termos nos leva à diferença de dois quadrados, então podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatoração da diferença de dois quadrados.

Vejamos este exemplo na sequência:

Visto que a2 - b2 = (a + b)(a - b), podemos realizar a fatoração como a seguir:

Tal fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).

Logo:

Exemplos

Trinômio Quadrado Perfeito - Soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito, que é o que demonstra a sentença acima, só que temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.

Como fatorar o trinômio abaixo?

Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.

Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x2 no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.

Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos chegar a uma variação do trinômio original:

Realizando a substituição de a e b, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.

Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original.

Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.

E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.

Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na forma a2 + 2ab + b2, então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:

Portanto:

Se o polinômio em questão não fosse um trinômio quadrado perfeito, não poderíamos realizar a fatoração desta forma, visto que a conversão de x2 + 14x