Livrar-se de Diedrais

Grupos Diedrais

Para n > 2, o conjunto das simetrias de um polígono regular de n lados é um grupo para a composição de simetrias. Este tipo de grupo chama-se grupo diedral de ordem n e denota-se por D_n. Ele é constituído por n rotações de 2kπ/n em torno do centro do polígono, para k = 0,1,2,•••n − 1, num dos sentidos (por exemplo, no sentido directo), e por n reflexões em torno dos eixos de simetria do polígono. Denotando por r a rotação de 2kπ/n, o conjunto das rotações é

e,r,r^2,•••,r^(n-1).

Se s é a reflexão en torno de um eixo de simetria, então todas as outras reflexões são da forma r^is para i = 1,•••,n − 1. Portanto, temos que

Dn = {e,r, r^2,•••, r^(n-1),s,rs, r^2s,•••, r^(n-1)s},

sendo r^n = e e s^2 = e. Além disso, verifica-se que sr = r^(n-1)s ou seja sr = r^(-1)s, visto que r^(n-1) = r^(-1). Todos os outros produtos podem ser calculados a partir destas igualdades. Por exemplo,

〖sr〗^2 = srr = r^(-1)sr = r^(-2)s = r^(n-2)s

Para n=3 temos o grupo

D3 = {e,r, r^2,s,rs, r^2s}

das simetrias do triângulo equilátero.

Da mesma forma, D4 = {e,r, r^2, r^3,s,rs, r^2s, r^3s} ´e o grupo de simetrias do quadrado, D5 = {e,r, r^2, r^3, r^4,s,rs, r^2s, r^3s, r^4s} é o grupo de simetrias do pentágono regular, e assim sucessivamente.

Cada elemento do grupo D_n tem a forma r^k ou r^ts, onde 0 ≤ k ≤ n − 1, sendo

r^a r^b = r^k e r^a(r^bs) = r^ks, com k = a +n b

(r^as) r^b = r^ls e (r^as)( r^bs) = r^l, coml = a +n (n − b).

Diz-se que o conjunto {r,s} gera o grupo Dn, num sentido óbvio que tornaremos preciso mais adiante.

A ordem de um grupo finito G é o número de elementos do conjunto subjacente que se denota por |G|. Um grupo com um número infinito de elementos diz-se que tem ordem infinita. Para um elemento x de um grupo G, se x^n = e para algum n natural diz-se que x tem ordem finita e o menor inteiro positivo que satisfaz essa igualdade chama-se a ordem de x. Caso contrário diz-se que x tem ordem infinita.

O único elemento de um grupo que tem ordem um é o elemento neutro. No grupo Z ele é o único elemento de ordem finita.

Todos os elementos de grupos finitos têm ordem finita.

No grupo infinito C − {0}, existem elementos de ordem finita tais como i e −i (que têm ordem quatro) e elementos de ordem infinita como 1 + i e muitos outros.

Grupos de Rotações

Consideremos um polígono regular de n vértices. Para facilitar as considerações que iremos fazer, imaginaremos no plano do polígono um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas de maneira que sua origem seja o centro do polígono e o eixo-x contenha um dos seus vértices o qual indicaremos pelo símbolo 1. Os vértices consecutivos desse serão indicados por n 3,...,2, , respectivamente, no sentido anti-horário. Nessas condições, as rotações em torno da origem e no sentido anti-horário segundo os ângulos de 0, 2π/n , 2. 2π/n, ...,(n-1) 2π/n radianos transformam o polígono nele mesmo.

Usando a notação multiplicativa para indicar a composição de duas rotações (duas rotações consecutivas), podemos dizer que o conjunto dessas n rotações é R_n = {e, a, a^2,..., a^(n-1) }.

Obviamente a^n = e, o que significa que após efetuarmos n rotações de ângulo 2π/n o polígono volta à sua posição inicial. Além disso, a^(n+1) = a, a^(n+2) = a^2, ... e também é evidente que a^r a^s= a^(r+s) o que tem como consequência que R_n é fechado em relação à composição de rotações consideradas. É claro que vale a propriedade associativa: a^r (a^s a^t )= a^r a^(s+t)= a^((r+s)+t)= a^(r+(s+t))= a^(r+s) a^t=(a^r a^s ) a^t. Por outro lado, como a^r a^(n-r)=e, então a^(n-r) − é o simétrico, na composição de rotações, de a^r. Assim R_n é um grupo cujo elemento neutro é e (polígono na posição inicial). R_n é chamado grupo das rotações módulo n.

Sólidos de Platão

Apresentação

Existem cinco sólidos de Platão: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Esses sólidos convexos se diferenciam dos demais devido a suas faces serem polígonos regulares e cada um de seus vértices receber o mesmo número de arestas. É interessante notar a simetria desses poliedros. O tetraedro, por exemplo, é formado por quatro vértices eqüidistantes, e cada três vértices formam um triângulo eqüilátero. Essas simetrias serão fundamentais para a argumentação de nosso último teorema.

3.2 Grupos de rotações dos sólidos de Platão

Buscaremos agora saber quais são os grupos de rotações de nossos sólidos. Isso significa que procuramos as rotações do espaço que levam cada sólido nele mesmo. Inicialmente vamos notar que o cubo é dual ao octaedro, ou seja, podemos inscrever um cubo no octaedro de forma que cada vértice do cubo esteja no centro da face do octaedro e vice-versa. Da mesma forma o dodecaedro é dual ao icosaedro e tetraedro é dual a ele mesmo, como vemos nas figuras:

Esse