MEDIA,MODA EMEDIANA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

MÉDIA, MODA E MEDIANA

1 DE DEZEMBRO DE 2012 ANDRÉ MACHADO 25 COMENTÁRIOS

Em Estatística, Média, Moda e Mediana são o que chamamos de medidas de posição, pois elas nos permitem obter informações sobre a posição de determinados elementos de um conjunto de dados. O ensino de tais medidas, muitas vezes, é superficial. Por isso, é recomendado ler esse post!

Médias

Dada uma lista de números, uma média é um valor que pode substituir todos os elementos dessa lista sem alterar determinada característica da mesma. Tal característica deverá ser determinada através do enunciado ou do contexto do problema que desejamos resolver.

De longe, a média aritmética é a mais conhecida e a mais utilizada, mas ela não é a única existente. Além dela, as mais comuns são a média geométrica e a média harmônica.

Média aritmética

A média aritmética é aquela que nos permite substituir os valores de uma lista de números por uma soma, sendo a mais simples que existe. É dada pela fórmula X = Somatório(xi)/n, a qual indica que dividimos a soma de todos os elementos da lista pelo seu número de elementos.

Exemplo: Uma empresa produziu 500, 200 e 200 unidades de determinado produto em Janeiro, Fevereiro e Março respectivamente. Qual foi a média de produção trimestral?

Resposta: Antes de sair calculando, devemos saber o que está sendo pedido. Neste caso, queremos uma média tal que, se a produção mensal da empresa fosse sempre igual a M, a produção trimestral seria a mesma. Pois bem, a produção trimestral foi de 500 + 200 + 200 = 900 unidades. Se em todos os meses a produção fosse igual a M, a média trimestral seria 3M, assim, 3M = 900, de onde vem que M = 900/3 = 300. Logo, a média procurada é a aritmética.

Média geométrica

A média geométrica conserva o produto dos valores de uma lista e é dada pela fórmula Raiz enésima do produtório de xi, ou seja, a raiz enésima do produtório de xi. O produtório é uma notação, assim como o somatório, que indica a multiplicação de todos os valores envolvidos. Se tivermos dois valores, a raiz que extrairemos será quadrada, se tivermos três, será cúbica e assim por diante. Note que a principal desvantagem da média geométrica em relação à média aritmética é que ela só é determinada para números positivos quando o número de elementos da lista for par. Ou seja, uma lista como -1, 4 não tem média geométrica.

Exemplo: Uma empresa aumentou sua taxa de produção nos meses de Agosto e Setembro em 21% e 8%, respectivamente. Qual foi a média de aumento mensal nesse período?

Resposta: Para não incorrer no erro de dizer que a média foi (21 + 8)/2 = 14,5%, vamos analisar o problema: queremos uma média M tal que, se a taxa de aumento médio mensal fosse sempre M, o aumento bimestral seria o mesmo. Conforme podemos ver pelo cálculo de porcentagem abaixo, o aumento bimestral foi de 30,68%:

100 -> 100 x 1,21 -> 100 x 1,21 x 1,08 = 130,68

Notem que 1,21 corresponde a 100% mais 21%. Seguindo essa lógica, se em todos os meses tivéssemos um aumento M, teríamos:

100 -> 100(1+M) -> 100(1+M)²

Igualando-se os dois resultados, temos que 100(1+M)² = 100 x 1,21 x 1,08, de onde concluímos que desejamos utilizar a média geométrica, obtendo o resultado 14,32%.

Média harmônica

A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos, sendo calculada através de n dividido pelo somatório de 1 sobre xi. Essa média também apresenta desvantagens sobre a média aritmética, pois o conjunto de dados em questão não pode conter o valor 0.

A desigualdade das médias

Se você pegar uma lista de números qualquer e calcular as médias aritmética, geométrica e harmônica dos elementos da lista, verá que vale a seguinte relação:

Média Aritmética > Média Geométrica > Média Harmônica

É por essa