Matematica E Fisica

Estruturas Geometircas

EXERCITANDO 1

Mostre que se considerarmos, ao invés dos números naturais, o subconjunto dos inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um subconjunto de S tal que k T e ( n T ⇒ n+1 T ), então T=S. Isso mostra que o 1º princípio da indução pode ser generalizado.

EXERCITANDO 2

Mostre que o 2º princípio da indução também pode ser generalizado. Mais precisamente, mostre que, se considerarmos, ao invés dos números naturais, o subconjunto dos inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um subconjunto de S tal que k T e ( k, k+1,...,n T ⇒ n+1 T ), então T=S.

2º Princípio da Indução:

Seja T um subconjunto do conjunto dos números inteiros não negativos com as seguintes propriedades:

i. 1 T

ii. Se 1,2,...,n pertencem a T então n+1 T

Então T= N

Demonstração: exercício (análoga ao 1º princípio).

O 2º princípio da indução é apenas uma variante do 1º princípio. Na verdade os dois princípios são equivalentes e podemos chamá-los simplesmente de Princípio da Indução. As propriedades (i) e (ii) são chamadas de hipóteses de indução.Na maioria das situações aplicamos o 1º princípio, porém, em certas ocasiões, precisamos aplicar o 2º princípio e portanto devemos nos familiarizar com as duas versões. Na verdade a aplicação do 2º princípio será necessária quando para mostrarmos que k+1 T necessitamos não somente do fato de k T, mas que elementos precedentes também pertençam a T.

Como aplicação do 2º princípio de indução provaremos o algoritmo da divisão.

Teorema 1 (algoritmo da divisão)

Sejam m e n inteiros não negativos e m>0. Então existem inteiros não negativos q e r, unicamente determinados tais que n=qm+r e 0 ≤ r < m.

Demonstração:

Se n=0 tomamos q=r=0 então o resultado vale.

Suponhamos que n>0. Usaremos indução sobre n.

Suponha n=1, se m=1 temos 1 = 1.1+0 e então q=1 e r=0. Se m>1, temos 1=0.1+1 e então q=0 e r=1< m

Suponha que o resultado seja válido para 1,2,...,n. Vamos mostrar que o resultado vale para n+1. Se n+ 1< m temos

n+1=0.m+(m+(n+1) e então q=0 e r=n+1< m. Se temos e daí o resultado vale para n+1-m e assim

com . Daí temos . Tomando temos n+1=qm+r com ,

que é o que queríamos demonstrar. Observe que tivemos que usar o segundo princípio pois usamos a

validade do resultado não para n mais sim para n+1-m, o qual é menor que n+1 e portanto menor ou igual a n.

Mostraremos agora a unicidade. Suponha que .

Temos então

De (I), (II) e (III) temos o que não pode ocorrer pois é inteiro e m>o. Logo

Como temos Como m>o temos

Corolário: Sejam m e n inteiros não negativos e m>0. Existe um único múltiplo qm de m tal que qm≤n<(q+1)m

DEMONSTRAÇÃO

De fato, do algoritmo da divisão, temos não negativos q e r, unicamente determinados tais que n=qm+r e 0 ≤ r< m. Neste caso temos qm≤ qm+r < qm + m = q (m+1) e assim qm ≤ n <(q+1) m. A unicidade de qm decorre da unicidade de q.

EXERCITANDO 3

Generalize o algoritmo da divisão. Mais precisamente, mostre que se m e n inteiros e m≠0 então existem inteiros q e r, unicamente determinados tais que n=qm+r e 0≤r<|m|. A partir daí generalize o corolário. Mais precisamente, mostre que, se m e n inteiros e m≠0 então existe um único múltiplo qm de m tal que qm≤n<(q+1)m. A generalização deste corolário é o resultado conhecido como Teorema de Eudoxios e costuma ser atribuído a Arquimedes e chamado de Princípio de Arquimedes.

2 . 7n + 3 . 5n – 5

Para n = 1:

2 . 71 + 3 . 51 – 5

14 + 15 – 5 = 24

∴ P (1) é verdade.

Para n = k:

2 . 7k + 3 . 5k – 5 = 24m, com m ∈ Z (I)

Para n = k + 1:

2 . 7k + 1 + 3 . 5k + 1 – 5

2 . 7k . 7 + 3 . 5k . 5 – 5 (II)

A partir de (I), temos:

-5 = 24m – 2 . 7 . 7k + 3 . 5 . 5k

Substituindo (I) em (II), vem que:

2 . 7k . 7 + 3 . 5k . 5 (24m – 2 . 7k – 3 . 5k)

14 . 7k + 15 . 5k . 24m – 2 . 7k – 3 . 5k

Organizando os termos semelhantes, vem que:

24m . 14 . 7k – 2 . 7k + 15 . 5k – 3 . 5k

24m + 7k (14 – 2) + 5k (15 – 3)

24m + 7k . 12 + 5k . 12

24 (m + 7k / 2 + 5k / 2)

Sabemos que 24 multiplicado por qualquer número dígito significa que é divisível por 24. Então, pelo princípio matemático da indução, pode-se provar que n é verdadeiro para todo inteiro n > 0.

∴ P (m + 1) é verdadeiro.

13 + 23 + 33 + ... + n3 = (n (n +1) / 2)2, n ≥ 1

Para n = 1:

13 = (1 (1 + 1) / 2)2

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