Matemática Aplicada

UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP

Centro de Educação a Distância

ATPS - Matemática

Campinas / SP

2012 

Professor tutor presencial: Eliana

Professora tutora a distância: Ivonete Melo de Carvalho

Atividade Pratica Supervisionada apresentada ao Curso Superior de Tecnologia em Gestão Comercial da Universidade Anhanguera Uniderp, como exigência parcial da Disciplina Matemática para a obtenção de nota, sob orientação da Profª. Tutora EAD Cintia Galene

Campinas / SP

2012

SUMÁRIO

Etapa 1- Descrição da microempresa ............................................................................ 4

Etapa 2 - A importância do estudo das Funções de 1º Grau ...........................................7

Resolução das questões propostas ...................................................................7

2.2 Problemas contendo a equação de 1º grau criados ..........................................8

Etapa 3 – Fórmula de Baskara .........................................................................................9

Resolução das questões propostas ..................................................................10

3.2 Problemas contendo a aplicação de cálculos diferenciados ............................14

Etapa 4 – Resolver as questões propostas ........................................................................15

4.1 Problemas de aplicação para a microempresa ................................................16

Referencias Bibliográficas ...............................................................................................17

Etapa 1 - Descrição da Microempresa

Rua José Paulino, 333

CEP: 13188-188 Campinas / SP

Telefone: (19)3235-1254

[e-mail]

www.laviccconsult.com.br

Empresa atuante na área de cerimoniais e festas de 15 anos, prestando todo tipo de apoio aos contratantes. Temos como objetivo assessorar, organizar, coordenar e planejar casamentos e festas de 15 anos na íntegra com todos os serviços sendo realizados com muita competência e qualidade, pois ter uma assessoria especializada permite que os noivos/aniversariantes se concentrem somente em se preparar e aproveitar essa data tão especial.

O capital inicial investido foi de aproximadamente R$ 30, 000 que foi adquirido do fundo pessoal de cada sócio da empresa, somos 5 no total, valor este utilizado para aluguel de espaço, aquisição de maquinário/produtos e também para providenciar materiais de primeira necessidade e criação do site da empresa.

Inicialmente o planejado é que nós 5 trabalhemos inclusive na montagem, organização e se necessário até mesmo na divulgação, contando sempre com o auxilio de um assistente cada um. Contaremos também com o auxilio de 3 auxiliares de limpeza que revezarão entre limpeza de escritório e trabalhos em área externa(nas festas e eventos) sempre previamente combinada e contratada por uma agencia de empregos com contrato de 6 meses.

O valor a ser cobrado por cada serviço será de acordo com as necessidades e total disponível para gasto de cada cliente. Valores fechados através de contrato, no entanto, estima-se um faturamento mensal nos 6 primeiros meses de aproximadamente R$ 25.000,00* com lucro aproximado de R$6.600,00*; valor este tende a aumentar conforme a divulgação e conhecimentos da empresa pelas pessoas.

Esperamos ter o retorno pelo capital inicial investido em um prazo máximo de 6 meses devido ao grandioso trabalho de marketing executado, além do excelente trabalho que nós, no papel de empresa e em conjunto faremos à todos os nossos clientes.Alem disso todos os sócios decidiram criar uma conta de fundo de investimento futuros que será guardado todo lucro aproximado e após 6 meses será decidido o que fazer com o montante que vai ser acrescido de juros à 2,5% ao mês.

A divulgação dos nossos serviços será feita da seguinte forma:

1ª Etapa

Contratação de uma web designer.

- Criação da logomarca da empresa

- Desenvolvimento do portfólio e material em geral para uso em folders e demais matérias impressos e também para uso eletrônico

- Construção do site da empresa

Custo estimado: R$ 2.000,00

2ª Etapa

Campanha inicial de 3 meses

- Publicação de um anúncio de 1 Página na revista Cerimonial (revista de circulação mensal)

Pacote trimestral:

Valor por inserção - R$ 800,00

Valor total - R$ 2.400,00

- Link patrocinado no Google na busca por palavra-chave (cerimonial / organização casamentos, organização de festas 15 anos e festas de debutante)

Pacote trimestral:

Valor mensal - R$ 500,00

Valor total - R$ 1.500,00

- Anuncio na lista telefônica (Listel)

Contrato anual de anúncio no formato de 01 coluna x 2,0 cm de altura

Valor mensal - R$ 200,00

- E-mail marketing

Disparo para 20 mil emails/semana

Valor mensal - R$ 500,00

Valor total - R$ 1.500,00

A princípio a questão do salário será a principio da seguinte forma:

Cada sócio receberá a principio uma bonificação de R$ 2, 000 fixos até que a empresa venha de fato a apresentar lucratividade. (aproximadamente 6 meses)

Cada assistente o salário inicial será em média e R$ 1, 000 fixos até que a empresa venha de fato a apresentar lucratividade.

No caso das auxiliares de limpeza o salário inicial será de R$ 750,00 fixos até que a empresa venha de fato a apresentar lucratividade.

Estes funcionários por sua vez, devem ter um acréscimo remunerado em aproximadamente 6 meses quando acaba o vinculo com a agência de empregos, sendo analisada sua permanência efetiva ou não dos mesmos.

Cada sócio trabalhará com um assistente, que ao final do evento auxiliará na desmontagem dos equipamentos/materiais, enquanto a limpeza do local é feita.

Etapa 2 - A importância do estudo das funções de 1º grau associado com a matemática financeira vinculada ao cotidiano empresarial

A matemática financeira oferece ferramentas exatas para resolver ou desenvolver problemas do cotidiano empresarial. Entre essas ferramentas estão às funções de 1º grau que detalham cálculos do cotidiano empresarial desde situações mais simples as mais complicadas. As funções de 1º grau são utilizadas para relacionar as aplicações de capitais calculando juros simples e compostos. Juntamente com gráficos que detalham o andamento do montante capital, sendo ele como forma de investimento, financiamento ou empréstimo de maneira a ser analisado um fluxo de caixa contendo entrada e saída de capital, formado em um determinado período facilitando um controle do mesmo fluxo de caixa. Além disso, as funções de 1º grau oferecem ferramentas práticas de cálculos em diversas áreas de uma empresa como, por exemplo: recursos humanos, produção, comercialização de descontos diversos, taxas de operações financeiras, tesouraria e em diversas áreas de administração. Na utilização de gráficos podemos elaborar planejamentos de forma a facilitar as decisões a serem tomadas por empreendedores. Sendo assim chegamos à conclusão que o estudo das funções de 1º grau junto com a matemática financeira é de extrema importância e estão sim muito presentes no cotidiano empresarial e sem duvida nenhuma ao longo de nossa vida.

Etapa 2.1 – Resolução das questões propostas

A. A receita gerada pela comercialização de um determinado produto pode ser obtida

por meio da equação R = 1,50x, na qual x representa a quantidade de produtos

comercializados. Se a receita for de R$ 9.750,00, quantos produtos foram

comercializados?

R= 1,5x

9750= 1,5x

X= 9750/1, 5

X= 6500

Resposta: Foram comercializados 6500 produtos.

B. Um empresário da área da Engenharia Mecânica compra matéria-prima para

produção de parafusos específicos por R$ 0,75 para cada duas unidades, e os vende

ao preço de R$ 3,00 para cada 6 unidades. Qual o número de parafusos que deverá

vender para obter um lucro de R$ 50,00?

Esse empresário deu um desconto sobre a venda de um lote de parafusos e,

mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o custo do lote. Se o desconto

não fosse dado, qual seria seu lucro, em porcentagem?

Justifique sua resposta.

Custo de 2 unidades = 0,75

Vende por R$ 3,00 para cada 6 unidades

3 ÷ 6 = 0,50 centavos cada um

0,50 × 2 un = 1,00 real

1,00 – 0,75 custo = 0,25 de lucro

Então temos: 2----------0,25

x----------50,00 aplicamos então regra de três

0,25x = 50. 2

X = 100/0, 25

X = 400

Resposta: devera vender 400 parafusos para obter lucro de R$ 50,00

Justificativa:

R$ 0,75 é o custo de 2 unidades e R$ 0,25 é o lucro de 2 unidades então temos:

0,75-----------100%

0,25----------- X

0,75X = 100. 0,25

X = 25/0, 75

X = 33,33% representa o lucro em cada venda, então o empresário teve 20% de lucro por que deu 13,33% de desconto neste lote.

Etapa 2.2 - Problema contendo equação de 1º grau relacionado à microempresa que criamos:

(1) Em um determinado mês nossa empresa faturou R$ 40,000, sabendo que em média cobramos R$ 5,000 por evento. Quantos eventos nós realizamos nesse mês.

F=P. x

F=faturamento

P=preço por evento

40, 000=5, 000. x

X= 40, 000/5, 000

X=8

(2) Sabemos que estamos fazendo 5 eventos por mês a um preço médio de R$ 5,000 e já excluindo os custos temos um lucro de R$ 6617,00.Se aplicarmos todo lucro em nossa conta de investimento, rendendo 2,5%% ao mês, ao final de 6 meses.Qual será o valor final do montante?

2,5 x 6 = 15%

15% x 6617 = R$ 992,55 rendimento

992,55 ₊ 6617 =R$ 7609,55 montante ao final de 6 meses

Etapa 3 - Fórmula de Báskara

Na matemática, equação de 2º grau é uma equação polinomial, onde se escreve de forma geral assim: ax² +bx +c=0

Toda equação de 2º grau tem como característica uma incógnita elevada ao quadrado (x²) onde X é uma variável e também conhecida como incógnita. As letras a,b,c são chamadas de constantes,e a tem que ser diferente de zero(a≠0) se a não for diferente de zero,não se trata de uma equação de 2º grau.

No final do século XII, o matemático chamado Bhaskara Akaria publicou diversos livros de estudo das equações onde o interesse era descobrir o valor das incógnitas x e assim ficou conhecido aparentemente apenas no Brasil por uma formula que não foi criado por ele, mas sim ele deu inicio aos estudos para que chegasse na mesma . A partir desse momento ouve uma evolução nos estudos das equações de 2º grau por diversos matemáticos criando varias formulas de cálculos e assim aparecendo à representação de gráficos que mostram o valor Maximo das incógnitas chamado de vértices podendo ser observado a direção a qual os valores crescem ou decrescem. Com o avanço dos estudos das equações de 2º grau os matemáticos descobriram que os coeficientes sendo números reais ou complexos possuem uma duas ou nenhuma solução ou raízes chegando então a nossa famosa fórmula de Báskara. Que em outros países são conhecidas apenas como fórmula geral para resolução das equações de 2º grau que foi descoberta pelos antigos babilônios e formalizada por grandes matemáticos após o século XII. A idéia foi utilizar fatoração de polinômio chegando a uma única incógnita x, sendo a ≠ 0.

Vamos ver isso na pratica:

ax² +bx +c=0

Multiplicam-se os membros por 4a: (Membros significam os dois lados do =)

4a² x² + 4abx + 4ac = 0

Somam-se b² em ambos os membros:

4a² x² + 4abx + 4ac + b² = b²

Vamos passar 4ac para lado direito do = ou seja, reagrupar:

4a² x² + 4abx + b²= b² -4ac

Agora vamos pegar apenas o lado da igualdade esquerdo e dividir por 2 os números e simplificar os fatores comuns:

(2ax + b)2 = b² - 4ac

Quando (2ax +b) ≥ 0 temos:

2ax + b = √(b²- 4ac)

Agora isolamos o X:

2ax = √(b²- 4ac) − b

X = (-b+√(b²-4ac))/2a

Quando (2ax + b) ˂ 0 temos:

2ax + b = − √(b²- 4ac)

Isolando o x:

2ax = -√(b²- 4ac) − b

X = (-b-√(b²-4ac))/2a

Finalmente podemos calcular as raízes com a famosa fórmula de Báskara

X =(-b±√(b²-4ac))/2a

Etapa 3.1 – Resolução das questões propostas

A. (ANGLO) O lucro L obtido por uma empresa de ônibus em uma certa excursão é

em função do preço x cobrado. Se x for um número muito pequeno, o lucro é

negativo, ou seja, a empresa terá prejuízo. Se x for um número muito grande, o

lucro também será negativo, pois poucas pessoas adquirirão novamente a excursão.

Um economista, estudando a situação, deduziu a fórmula para L em função de x: L

= -x² + 90x – 1.400 (L e x em unidades monetárias convenientes).

L = −x +90x −1400

a = -1

b = 90

c = -1400

∆ = b^2 −4ac

∆ = 〖90〗^2 −4.-1.-1400

∆ = 8100 – 5600

∆ = 2500

X =(-b±√∆)/2a

x =(-90±√2500)/(2.-1)

x = −(-90±50)/(-2)

x1 = (-90+50)/(-2)

x1 = (-40)/(-2)

x1 = 20

x2 = (-90-50)/(-2)

x2 = (-140)/(-2)

x2 = 70

xv = (-b)/2a

xv = (-90)/(2.-1)

xv = (-90)/(-2)

xv = 45

yv = (-∆)/4a

yv = (-2500)/(4-1)

yv = 625

a) Haverá lucro se o preço for x = 20?

Resposta: Não haverá lucro

b) E se o preço for x = 70

Resposta: Não haverá lucro

c) O que acontece quando x = 100?

Resposta: A empresa terá prejuízo, pois o gráfico mostra que 100 encontra a parábola na decrescente.

d) Esboce o gráfico dessa função.

e) A empresa deverá cobrar quanto (moeda vigente) para ter lucro máximo? Qual

é esse lucro máximo?

Resposta: A empresa deverá cobrar R$ 45,00 para obter o lucro máximo de 625

B. Em uma empresa de x colaboradores, seria feita uma divisão, igualmente, de

R$ 1.000,00. Como faltaram 5 colaboradores, cada um dos outros ganhou R$ 10,00 a

mais.

a. Escreva a equação que corresponde a esta situação.

x = COLABORADORES

y = VALOR A SER PAGO

x = COLABORADORES

y = VALOR A SER PAGO

Então temos:

a) 1000/x = y

b) 1000/(x-5) = y + 10

Agora vamos substituir o valor de Y na equação b

1000/(x-5) = y + 10

1000/(x-5) = 1000/x + 10

1000 = (x – 5) . (1000/x + 10)

1000 = 1000x/x + 10x (-5000)/x – 50

1000 = 1000 + 10x (-5000)/x – 50

0 = 10x (-5000)/x – 50

0 = (10x^2-5000-50)/x

Estamos quase agora vamos descobrir o MMC e assim pegamos toda a expressão e ÷ pelo mesmo:

0 = (10x^2-5000-50x)/10

0 = x^2-5x-500

R: A equação que corresponde a esta situação é: 0 = x^2-5x-500

b. Qual o número real de colaboradores?

Vamos pegar a fórmula que achamos e descobrir o numero de colaboradores:

x^2-5x-500

a = 1

b = - 5

c = - 500

∆ = 〖-5〗^2 - 4.1.-500

∆ = 25 + 2000

∆ = 2025

X = (-b±√∆)/2a

X = (-(-5)±√2025)/2.1

X = (5±45)/2

X1 = (5-45)/2 = -20

X2 = (5+45)/2 = 25

R: Como não é possível existir -20 colaboradores então a resposta correta é 25 colaboradores.

c. Encontre o valor que cada um recebeu.

1000/x = y

1000/25 = y

Y = 40 + R$ 10,00 = R$ 50,00

R: Como faltaram 5 colaboradores e cada colaborador presente recebeu R$ 10,00 a mais então todos receberam R$ 50,00.

Etapa 3.2 - Problemas contendo aplicação de cálculos diferenciados relacionados à microempresa que criamos:

Com o passar dos anos nossa empresa se tornou forte e sólida no mercado. Podemos dizer que o quadrado dos anos que a empresa tem hoje menos os anos que ela tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos anos nossa empresa tem agora?

x^2-(x-20)= 2000

x^2-x+20=2000

x^2-x+20-2000=0

x^2-x-1980=0

a = 1

b= -1

c= -1980

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-(-1)±√(〖(-1)〗^2-4.1.(-1980)))/2.1

X = (1±√(1+7920) )/2

X = (1±√7921 )/2

X = (1±89 )/2

X1 = (1-89 )/2 = -44

X2 =(1+89 )/2 = 45

R: Como não é possível existir -44 anos então a resposta certa é 45 anos.

Etapa 4 - Resolver as questões propostas

Um veículo, após sua compra, desvaloriza-se exponencialmente à razão de 20% ao

ano. Se o valor da compra foi de R$ 75.000,00, depois de 5 anos, esse trator terá seu

valor:

M= C (1 - i)m

M= 75000 (1 - 0,2)5

M= 75000 (0,8)5

M= 75000 (0.32768)5

M= 24.576

Resposta: b. Reduzido a aproximadamente um terço de seu valor de compra.

(UFMT) Uma financiadora oferece empréstimos, por um período de 4 meses, sob as

seguintes condições:

1ª) Taxa de 11,4% ao mês, a juros simples;

11,4% x 4 = 45,6%

10.000 x 45,6% = 4.560

4.560 + 10.000 = 14.560

Resposta - R$ 14.560,00

2ª) Taxa de 10% ao mês, a juros compostos.

2º - JUROS COMPOSTO

M= C (1 + i)m

M= 10000 (1 + 0,1)4

M= 10000 (1,1)4

M= 10000 (1.4641)

M= 14.641

Resposta - R$ 14.641,00

Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10.000,00, optando pela 1ª condição. Em

quantos reais os juros cobrados pela 1ª condição serão menores do que os cobrados

pela 2ª?

JUROS SIMPLES - R$ 4.560,00

JUROS COMPOSTO - R$ 4.641,00

R$ 4.560,00 - R$ 4.641,00 = R$ 81,00

São cobrados R$ 81,00 a menos na 1º condição em relação a 2ª.

Etapa 4.1 – Problemas de aplicação para a microempresa:

Referencias Bibliográficas

LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, 1988. Tradução Cyro de Carvalho Patarra

MIORIM, Maria Ângela. Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual,