O MITO DAS AMBIGUIDADES NAS REPRESENTAÇÕES DECIMAIS

O Mito das Ambig¨uidades nas Representa¸c˜oes Decimais

Gentil Lopes da Silva

15 de agosto de 2008

Resumo

Este trabalho p˜oe fim `as intermin´aveis pendengas sobre as representa¸c˜oes

decimais de reais do intervalo [ 0, 1 ]. Mostramos que as supostas ambig

¨uidades de algumas destas representa¸c˜oes, tipo: 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . .

s˜ao um mito. Aqui esclarecemos, em definitivo, igualdades tais como

0, 999 . . . = 1.

“E, conquanto as ideias e o

pensamento matem´aticos estejam em

constante evolu¸c˜ao [. . .] a maioria

dos problemas b´asicos fundamentais

nunca desaparece.” (G. Chaitin)

Introdu¸c˜ao: Neste trabalho abordaremos a quest˜ao das representa¸c˜oes

decimais e perseguiremos, dentre outros, o seguinte objetivo: mostrar que as

supostas ambig¨uidades de tais representa¸c˜oes s˜ao um mito.

O conceito do ´eter revelou-se um fantasma criado pela imagina¸c˜ao dos

f´ısicos do s´eculo XIX. Neste trabalho mostramos, igualmente, que representa¸c˜oes

tipo 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . n˜ao tˆem “existˆencia real”; s˜ao fantasmas criados

pela imagina¸c˜ao dos matem´aticos.

Assim como foi decisivo, para o progresso da f´ısica, que se exorcizasse o

fantasma do ´eter, cremos que igualmente ser´a de relevˆancia para a matem´atica

exorcizarmos os fantasmas das ambig¨uidades.

Mostraremos que o esclarecimento desta quest˜ao − aqui a deixamos assaz

cristalina − vai simplificar, ami´ude, muitas constru¸c˜oes matem´aticas; a exemplo

da constru¸c˜ao da curva de Peano. Na referˆencia [4] mostramos uma (nova)

constru¸c˜ao desta curva mais simples que as constantes na literatura.

Representa¸c˜oes decimais

Existem duas alternativas para se definir as representa¸c˜oes decimais: via

convergˆencia de s´eries e via bije¸c˜ao entre conjuntos.

Para exemplificar a primeira alternativa (ver [2]/p´ag. 231):

“Antes de definir ', lembremos que os n´umeros reais admitem n˜ao somente

uma express˜ao decimal como tamb´em, fixado qualquer n´umero b > 1, todo

n´umero real possui uma express˜ao na base b. Em particular, se 0 ≤ x ≤ 1, a

express˜ao x = 0, x1x2 . . . xn . . . de x na base b significa que

x =

x1

b

+

x2

b2 + · · · +

xn

bn + · · · ”

www.dmat.ufrr.br/ gentil ) [e-mail]

1

Gentil 2

Ainda mais `a frente, nesta mesma p´agina, o autor escreve:

“Para ver que ' ´e injetiva, basta lembrar que, assim como a representa¸c˜ao

decimal de um n´umero x ∈ [ 0, 1 ] ´e ´unica, exceto por ambig¨uidades do tipo

0, 47999 . . . = 0, 48000 . . .”.

Vejamos mais um exemplo, segundo este autor 0, 011000 . . . e 0, 010111 . . .

s˜ao duas representa¸c˜oes, na base 2, de 3

8 , porquanto

0

21 +

1

22 +

1

23 +

0