O PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI-UFVJM MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA

MATEMÁTICA DISCRETA

Hiller Alves Fernandes

Padre Paraíso-MG 2019

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1. Solução: Queremos demonstrar:

P(n): “Todo natural maior do que 1 ou é primo ou decompõe-se como produto de números primos.”

1. Passo base, para 𝑛 = 2;

Para 𝑛 = 2 existe uma decomposição trivial, pois ele próprio é primo. Logo, P(n) é verdade para 𝑛 = 2;

1. Supondo que P(k) é válido Ɐ𝑘 tal que 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 ,então isso implica na validez de P(n+1);

Para 𝑛 + 1, temos duas possibilidades:

• Se 𝑛 + 1 é primo, não há nada a ser demonstrado;
• Caso contrário 𝑛 + 1 admite um divisor 𝑎 tal que 1 < 𝑎 < 𝑛 + 1. Isto é, 𝑛 + 1 =

𝑎 ∙ 𝑏, e temos também 1 < 𝑏 < 𝑛 + 1. Pela hipótese de indução, 𝑎 e 𝑏 podem ser decompostos em fatores primos, ou seja, 𝑎 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ … ∙ 𝑝𝑗 e 𝑏 = 𝑞1 ∙

𝑞2 ∙ … ∙ 𝑞𝑠. Daí, temos:

𝑛 + 1 = 𝑎 ∙ 𝑏 ⇒ 𝑛 + 1 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ … ∙ 𝑝𝑗 ∙ 𝑞1 ∙ 𝑞2 ∙ … ∙ 𝑞𝑠

Pelo princípio da indução completa, demonstramos que P(n) é válido para todo 𝑛 > 1.

1. Solução: Dada uma sequência (𝑎𝑛) é tal que 𝑎1 = 1 e:

𝑎𝑛+1 =

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𝑎1+𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛

, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 > 1.[pic 1]

𝑛 + 1

Os Primeiros termos da dessa sequência são:

𝑎1 = 1

𝑎2

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= 𝑎1 ⇒ 𝑎 = 1 1+1        2[pic 2][pic 3]

𝑎3

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= 𝑎1+𝑎2 ⇒ 𝑎

2+1[pic 4]

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1

= (1+2)  ⇒ 𝑎   =  1[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

3        2

O que precisamos mostrar é que:

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P(n): “ 𝑎𝑛

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= 1, para todo 𝑛 ≥ 2.”

2[pic 9]

1. Passo base, para 𝑛 = 2:

𝑎1        1

𝑎2  = 1 + 1 ⇒ 𝑎2  = 2[pic 10][pic 11]

A preposição P(n) é válida para n=2.

1. Supondo que P(k) é verdade para todo k tal que 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 ,então isso implica na validez de P(n+1);

Sendo assim, temos que 𝑎𝑛+1 é igual á:

𝑎𝑛+1 =