Otimização

Trabalho de Otimização

Introdução

Os modelos computacionais vêm sendo reformulados e aprimorados com o propósito de se adequarem cada vez melhor as exigências trazidas pela engenharia. A computação engloba um grande numero de métodos que de diferentes formas buscam um objetivo em comum: o ótimo.

A otimização visa a melhor combinação de fatores que proporcione o melhor desempenho possível para o sistema. E para que essa combinação seja atingida, é necessária a analise de dados e características a serem colocadas como fator. O algoritmo para a computação é um dispositivo que facilita a modelagem de problemas científicos, tanto na engenharia, como em qualquer outra área. Quando se consegue construir modelos matemáticos bastante representativos dos respectivos sistemas dinâmicos em estudo, é possível aplicar as técnicas matemáticas de otimização para maximizar ou minimizar uma função. Existem muitos problemas que só são possíveis de serem resolvidos com um programa muito específico.

Entretanto, mesmo sendo grande a variedade de modelos, existem falhas que, apesar de serem diminuídas, ainda atrapalham o perfeito funcionamento do sistema. Para que o bom desempenho do modelo seja atingido, certas etapas para sua realização devem ser seguidas: primeiro, é escolhido o melhor método de otimização de acordo com o objetivo a ser alcançado; depois, são escolhidas e analisadas as variáveis que formarão o algoritmo e a partir delas será montada a função a ser otimizada. Geralmente, quanto maior é o número de variáveis, maior é a complexidade do algoritmo a ser formulado, e muitas vezes o processamento do modelo torna-se lento. Entretanto é possível tornar a função da otimização o mais simples possível.

O Recozimento Simulado

O recozimento simulado é uma técnica de otimização que utiliza o princípio de evolução da solução ao longo do tempo, é usado freqüentemente quando o espaço da busca é discreto e se fundamenta numa analogia com a termodinâmica. O nome e a inspiração vêm de recozimento em metalurgia, uma técnica que envolve o aquecimento e o refrigerar controlado de um material para aumentar o tamanho dos seus cristais e reduzir os seus defeitos. Por garantir um alto nível de movimentação por meio do espaço de busca, o recozimento simulado procura varrer todo esse espaço de forma a permitir uma solução global. Mais adiante no processo, o resfriamento permitirá apenas pequenos movimentos no espaço de soluções, e o processo convergirá para uma solução final. Uma das principais vantagens deste algoritmo é permitir testar soluções mais distantes da solução actual e dar mais independência do ponto inicial da pesquisa.

O recozimento simulado necessita dos seguintes elementos para o processamento: uma descrição das possíveis soluções, um gerador de alterações randômicas entre as soluções, uma função objetivo para as soluções, um parâmetro de controle e, finalmente, um "escalonamento de recozimento" que descreva como o parâmetro de controle varia ao longo do tempo.

A busca começa a partir de uma solução inicial qualquer, o procedimento principal consiste em um loop ou laço que gera aleatoriamente, em cada iteração, um único vizinho s’ da solução corrente s. A cada geração de um novo vizinho s’ de s, é testada a variação Δ do valor da função objetivo, isto é, Δ = f (s’) – f (s), onde temos as seguintes situações:

 Δ < 0: Há uma redução de energia, a qual implica que a nova solução é melhor que a anterior. O método aceita a solução e s’ passa a ser a nova solução corrente.

 Δ = 0: Caso de estabilidade, não havendo redução de energia. Na verdade, situação pouco provável de acontecer na prática. A aceitação da solução é, portanto, indiferente.

 Δ ≥ 0: Houve um aumento do estado de energia. A aceitação desse tipo de solução é mais provável a altas temperaturas e bastante improvável a temperaturas reduzidas. Para reproduzir essas características, geralmente usa-se, para calcular a probabilidade de se aceitar a nova solução, uma função conhecida por fator de Boltzmann, que é dada por e^(-Δ/T), onde T é um parâmetro do método, chamado de temperatura e que regula a probabilidade de soluções com pior custo. Por exemplo, esta poderá ser: - Gera-se um número aleatório retirado de uma distribuição uniforme no intervalo [0,1].

-Se este número for menor ou igual a “p”, aceita-se a solução.

-Se for maior que “p”, rejeita-se a solução.

No método do recozimento, cada ponto s da busca o espaço é análogo ao estado de algum sistema físico, e a função E(s) para ser minimizada é análoga a energia interna do sistema nesse estado. O objetivo é trazer o sistema, de um arbitrário estado inicial, a um estado com a energia possível mínima. As probabilidades são escolhidas de modo que o sistema tenda finalmente a se mover para estados de uma energia mais baixa. Esta etapa é repetida até que o sistema alcance um estado que seja bom o bastante para a aplicação.

Desenvolvimento

Quando uma força conservativa age sobre um corpo, fornece a ele a capacidade de realizar trabalho. Essa capacidade, medida como energia potencial, depende da localização do corpo.

Energia Potencial Gravitacional. Se o corpo está localizado a uma distancia y acima de um referencial horizontal fixo ou uma referência, o peso do corpo tem energia potencial gravitacional positiva Vg, pois W tem a capacidade de realizar trabalho positivo quando o corpo se move para baixo da referência. Da mesma forma, se o corpo y abaixo da referência, Vg é negativa, pois o peso realiza trabalho negativo quando o corpo está se movendo para cima da referência. Na referência, Vg = 0.

Medindo y como positivo para cima, a energia potencial gravitacional da força peso W do corpo é, portanto:

Vg = Wy

Energia Potencial Elástica. A energia potencial elástica Ve que uma mola produz sobre um corpo quando é tracionada ou comprimida a partir de uma posição não deformada ( s = 0) até uma posição final s é:

Ve = 1/2ks²

Aqui Ve é sempre positiva, pois na posição deformada a mola tem a capacidade de realizar trabalho positivo retornando o corpo a posição da mola não deformada.

Função Potencial. No caso geral, se o corpo é submetido tanto a forças gravitacionais como elásticas, a energia potencial V do corpo pode ser expressa como uma soma algébrica:

V