Probabilidade

1. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona 5 peças. O lote será aceito se forem observadas 0 ou 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote. Qual a probabilidade do lote ser aceito?

R: 0,8038

2. As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são e , respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol? , 32 54 10 7

R: 49/50

Podemos resolver de forma rápida se pensarmos da seguinte forma ( Usando o teorema da probabilidade total):

A SOMA de todas as probabilidades é igual a 1.

Queremos que ao menos um jogador marque um gol, logo teremos que subtrair da unidade as probabilidades de A, B e C não marcarem gols ou seja marcarem zero gols. Mas como faremos isto? Simples, subtraia as probabilidades individuais de marcarem gols, vamos ao cálculo.

Pamarcar+Panãomarcar=1

2/3+Pañm=1

Pañm=1-2/3

Pañm=1/3

Pbmarcar+Pbnãomarcar=1

4/5+Pbñm=1

Pbñm=1-4/5

Pbñm=1/5

Pcmarcar+Pcnãomarcar=1

7/10+Pcñm=1

Pcñm=1-7/10

Pcñm=3/10

Pa,b e c não marcarem=1/3.1/5.3/10=1/50 ( Aqui usamos outro teorema, o das multiplicações de eventos independentes, pois os eventos a não marcar, b não marcar e c não marcar são independentes entre si)

Agora façamos a soma:

Paomenos1gol+Pa,b e c não marcarem=1

Pam1g+1/50=1

Pam1g+1/50=1

Pam1g=1-1/50

Pam1g=(50-1)/50

Pam1g=49/50

3. Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas, das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que:

a) Nenhuma seja defeituosa

R: Como há lâmpadas não defeituosas, há maneiras de escolher 3 lâmpadas não defeituosas. Assim:

b) Exatamente uma seja defeituosa

R: Há 5 lâmpadas defeituosas pares diferentes de lâmpadas não defeituosas; portanto há maneiras de escolher 3 lâmpadas das quais uma seja defeituosa. Assim:

c) Pelo menos uma seja defeituosa

R: O evento em que pelos menos uma é defeituosa é o complemento do evento em que nenhuma é defeituosa, o qual, tem por , a probabilidade . Portanto:

4. Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determine a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m. (Teorema de Bayes)

R: (0,973)

5.