Probabilidade

1) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 8 bolas verdes. Uma bola é escolhida ao acaso desta urna. Qual é a probabilidade de que:

(i) a bola não seja verde? (ii) a bola não seja nem branca nem verde?

Solução. O espaço amostral consta de (6 + 2 + 8) = 16 bolas.

(i) A probabilidade de não ser bola verde é a probabilidade complementar de ser bola verde. Temos:

.

ii) Não ser bola branca, nem ser verde, é pela Lei de De Morgan, o complementar da união dos eventos: .

OBS: A solução ilustra a lei, mas pode ser diretamente visualizada com a escolha das pretas.

2) (ENEM) A tabela indica a posição relativa de quatro times de futebol na classificação geral de um torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo • significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004, a frente do time da coluna. O símbolo * significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, a frente do indicado na coluna. A probabilidade de que um desses quatro times, escolhidos ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, em 2004 e 2005, é igual a:

a) 0,00 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,75 e) 1,00

Solução. Pela tabela o símbolo • aparece na linha do B em todas as células possíveis. Logo, ele foi o 1º colocado em 2004. O mesmo símbolo aparece em todas as células da coluna do A. Logo, A foi o 4º colocado. Entre C e D, este ficou a frente. A classificação em 2004 foi: B D C A. Analisando de forma análoga o símbolo * aparece em todas as células possíveis da linha do C. Logo, ele foi o 1º colocado em 2005. D foi o 4º colocado, pois em sua coluna aparece esse símbolo. Desta forma, com C em 1º e D em 4º, o resultado de A e B não serão os mesmos de 2004. Logo, a probabilidade de mesma classificação é zero. (Letra A)

3. (UERJ) Com o intuito de separar o lixo para fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas dependências cinco lixeiras de diferentes cores, de acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro, plástico, metal, papel e lixo orgânico. Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro. A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a:

(A) 25% (B) 30% (C) 35% (D) 40%

Solução. Há 5 lixeiras. A probabilidade de ele acertar uma lixeira certa é 1/5. No caso temos que analisar os casos: acertou somente uma ou acertou ambas.

i) Acertou a de plástico e errou a de vidro: .

ii) Errou a de plástico e acertou a de vidro: .

iii) Acertou a de plástico e acertou a de vidro: .

Total: . Letra C

4) (UERJ) Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 1 a 5. Antonio, Bernardo, Carlos, Daniel e Eduardo devem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira 3, nem Daniel se sente na cadeira 4, equivale a:

a) 16% b) 54% c) 65% d) 96%

Solução. Considerando a configuração C1, C2, C3, C4, C5 o número de maneiras distintas de cada um deles sentarem é 5! = 120.

i) Fixando Carlos na cadeira 3 sobram 4 cadeiras para os restantes. Eles podem sentar nessas cadeiras de 4! = 24 maneiras diferentes. A probabilidade de na formação Carlos sentar na cadeira 3 é: .

ii) Fixando Daniel na cadeira 4 sobram 4 cadeiras para os restantes. Eles podem sentar nessas cadeiras de 4! = 24 maneiras diferentes. A probabilidade de na formação Daniel sentar na cadeira 4 é: .

iii) Fixando Carlos na cadeira 3 e Daniel na cadeira 4, sobram 3 cadeiras para os restantes. Eles podem sentar nessas cadeiras de 3! = 6 maneiras diferentes. A probabilidade de na formação Carlos sentar na cadeira 3 e Daniel sentar na cadeira 4 é: .

A probabilidade é: .

5. (UERJ) Um pesquisador possui em seu laboratório um recipiente contendo 100 exemplares de Aedes aegypti, cada um deles contaminado com apenas um dos tipos de vírus, de acordo com a seguinte tabela:

Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, a probabilidade de que pelo menos um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a:

(A) (B) (C) (D)

Solução 1. Há um total de 100 mosquitos. A probabilidade de que nenhum esteja contaminado pelo vírus DEN 3 é a probabilidade complementar de pelo menos um contaminado.

i) .

ii) .

Solução 2. Utilizando a retirada sequencial e trabalhando com o complementar, temos:

.

6. (CEFET) Joga-se uma moeda não viciada 10 vezes. Qual a probabilidade de obtermos exatamente 5 caras?

(A) (B) (C) (D)

Solução. Uma das configurações possíveis para esse resultado é {CCCKKCKKCK}. A probabilidade desse resultado é: .

Não é necessário definir a ordem em que sairão as caras (C) nem as coroas (K). Repare que o número de possibilidades de configurações é a permutação dos 10 elementos onde há cinco repetições de caras e cinco de coroas: .

Logo a probabilidade pedida é: .

7. (UERJ)