Probabilidades

Teoria Elementar das Probabilidades

Objetivos do módulo

Em Estatística Indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma população a partir do conhecimento de uma amostra, ou ao contrário, a previsão do comportamento esperado de uma amostra retirada de uma população conhecida, temos o cuidado de utilizar a palavra “provavelmente” antes de cada informação.

Assim por exemplo, quando após uma pesquisa eleitoral o veículo de comunicação informa que se a eleição fosse naquele momento o candidato X teria 35% dos votos, ele quer dizer que provavelmente o candidato X teria essa quantidade de votos. É uma afirmação provável de ocorrer, não quer dizer que certamente ocorrerá. Uma tolerância nessa informação é esperada.

Neste módulo iremos ver o que significa e como são calculadas as probabilidades, ramos de estudo da Matemática e não exatamente da Estatística. Inicialmente iremos verificar casos absolutamente teóricos e posteriormente evoluiremos para situações mais próximas da realidade.

Tentaremos utilizar o raciocínio lógico para resolver as questões e no final do módulo faremos uma revisão teórica, apresentando os conceitos e fórmulas utilizadas na Teoria Elementar das Probabilidades. O importante é você dominar o mecanismo de cálculo da probabilidade.

1.1 - Definições de Probabilidades.

Caso você procure a definição de probabilidade em um dicionário, o Aurélio, por exemplo, irá encontrar algo do tipo:

Probabilidade: 1. Qualidade do provável. 2. Motivo ou indício que deixa presumir a verdade ou a possibilidade de um fato, verossimilhança.

Como é fácil de notar esta definição não acrescenta nada ao conceito intuitivo que temos de probabilidade; isto porque o conceito de probabilidade é circular, ou seja, define-se probabilidade utilizando-se seus próprios termos

Deste modo desenvolve-se atualmente uma abordagem axiomática na definição de probabilidade, mantendo-se seu conceito indefinido, algo semelhante ao que acontece em geometria com as definições de ponto e reta.

Estatisticamente, no entanto, adotam-se três abordagens diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como freqüência relativa e a abordagem subjetiva.

Antes de seguirmos, no entanto na definição de probabilidade é necessário definir alguns termos que serão utilizados:

• Experimento amostral: São aqueles que apesar de serem repetidos exatamente da mesma maneira não apresentam resultados obrigatoriamente iguais. Por exemplo: Você pode jogar um dado exatamente da mesma maneira duas vezes e nada garantirá que irá obter o mesmo resultado.

• Espaço Amostral (ou conjunto universo ou espaço das probabilidades): É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por exemplo, o espaço amostral de um jogo de um dado honesto é dado por:

S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 )

ü Observe que o dado deve ser honesto, se não for, o experimento não é aleatório.

• Evento: É um determinado subconjunto formado por um ou mais elementos do espaço amostral. Por exemplo, num jogo de dados o evento número primoé formado por:

E = { 1, 2, 3, 5}

1.2 – Cálculos das Probabilidades Elementares.

Usando estes termos podemos definir estatisticamente o termo probabilidade:

• Abordagem clássica: É a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado evento e o número total de elementos (ou resultados) do espaço amostral, ou seja:

Sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.

n(A) o número de elementos favoráveis ao evento A.

n(S) o número total de elementos do espaço amostral.

Por exemplo:

Qual é a probabilidade de ao se jogar um dado honesto, se obter um número primo?

• Abordagem como freqüência relativa: É a razão entre o número de vezes que determinado resultado ocorre, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezes. Por exemplo: Jogamos uma moeda 1000 vezes e em 512 destas vezes saiu cara. Podemos dizer por esta definição que a probabilidade de sair cara nesta moeda é de 512/1000, ou seja, 51,2%. Esse raciocínio seria simbolizado da seguinte forma:

Note que o resultado acima não é o mesmo que o calculado pela definição anterior (50%). Isso pode se dever ao fato da moeda usada não ser honesta (portanto com resultados aleatórios) ou ao fato de o número de jogadas não tenha sido suficientemente grande. Aumentando o número de jogadas a probabilidade tenderá ao valor teórico de 50%, se a moeda for honesta.

• Abordagem subjetiva: Ao contrário das definições anteriores, nesta, a probabilidade não é um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência. Evidentemente que esta probabilidade não é fruto de um “palpite, um chute”, mas algo embasado em dados objetivos, mas complementados por aspectos pessoais. É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 80% de chances