Probabilidades de probabilidade de função

Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.)

Em matemática, a função densidade de probabilidade é uma função utilizada para representar a distribuição de probabilidade caso a variável aleatória seja contínua.

Se a variável X for contínua, somente haverá interesse na probabilidade de que a variável assuma valores dentro de determinados intervalos. Formalmente, uma variável aleatória contínua tem densidade f(x) se f é uma função não-negativa integrável tal que a probabilidade no intervalo [a,b], P(a≤ x≤ b), é dada por:

A função distribuição acumulada é a integral da densidade:

Qualquer que seja a distribuição de probabilidades f(x), ela deverá possuir as seguintes propriedades:

Distribuição Normal

O estudo da distribuição normal (conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana em razão da contribuição de Karl F. Gauss à sua teoria matemática) remonta a pesquisas desenvolvidas no século XVIII. Cientistas observaram que as discrepâncias entre repetidas medições de uma mesma grandeza física apresentavam um grau surpreendente de regularidade e que, quando se coletava grande número dessas medições, a distribuição das discrepâncias tendiam a uma curva semelhante a um sino, a "curva normal dos erros", atribuída ao acaso.

A distribuição mostrava que o maior número das observações estava agrupado no centro, próximas da média do número total de observações. A curva então cai simetricamente, com um número igual de observações em ambos os lados da média de forma análoga à Figura 1.

Icone retratilVeja a figura 1:

Olhando de perto

Para saber mais sobre a história da Distribuição Normal, veja PasqCap03.pdf (p.71 – p.73) disponível no Material de Apoio do curso ou em http://www.psi-ambiental.net/pdf/PasqCap03.pdf.

Características das Distribuições Normais

A função densidade de probabilidade da distribuição normal de média μ e desvio σ é definida pela equação:

onde

corresponde a 3,1415; e e é o número irracional 2,71828... .

O gráfico de uma distribuição normal, utilizando a função mostrada anteriormente, é visto na forma de sino que se prolonga indefinidamente em ambas direções, aproximando-se cada vez mais do eixo horizontal, sem nunca tocá-lo (Figura 2).

Icone retratilVeja a figura 2:

Propriedades da Distribuição Normal

Descrição 01Descrição 02Descrição 03Descrição 04Descrição 05Descrição 06Descrição 07

Descrição 01

É simétrica em relação ao ponto x = µ (50% abaixo e 50% acima da média).

Observação

A probabilidade de um ponto qualquer é nula:

A notação utilizada para a distribuição normal é:

Uma importante característica da distribuição normal é que ela fica completamente especificada com apenas dois parâmetros, média e desvio. Assim, existe uma única distribuição normal para cada combinação de média e desvio. Clique abaixo para ver algumas dessas combinações:

Figura 3 [X~N(4, 2); X~N(4, 4)]

Icone retratilVeja a figura 3:

Icone retratilVeja