Probalidade

APOSTILA : Medidas de tendência central – Média, Moda e Mediana

Professora: Elizabete Sarzi Zamberlan

Medidas de Tendência Central é um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o maior valor da série. È também um valor em torno do qual os elementos da série estão distribuídos.

As principais medidas de tendência central são: média, moda e mediana

A) Estudo da Média () em dados brutos ou Rol, variável discreta e variável contínua.

1º caso: Dados brutos ou Rol - Neste caso devemos utilizar a média aritmética simples que é dada por: , onde = soma dos elementos da série e n = nº de elementos.

Ex: Calcule a média aritmética da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20.

=

Interpretação: o valor médio da série é 12, ou seja, os valores desta série concentram-se em torno de 12.

2º caso: Variável discreta - Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta usaremos a aritmética ponderadas (média que utilizamos pesos para calculo), considerando a freqüência simples fi, como sendo as ponderações dos elementos xi correspondentes.

A fórmula é ( Lê-se: somatório de xifi dividido pelo somatório de fi )

Para encontrar a coluna de xifi multiplicamos a coluna das variáveis que passaremos a chamá-la de xi pela coluna da freqüência que chamamos de fi. Veja o exemplo:

Ex: Determine à média da distribuição.

- Inicialmente devemos somar a coluna fi = = 30 elementos

- Em seguida utilizamos a própria tabela para calcular xifi , multiplicando xi por fi , portanto o somatório de xi.fi é = 166

- Substituindo na fórmula para calcular a média temos:

Média = é o ponto de concentração dos valores da série, isto é, 5,33 é a média entre os elementos da série.

3º caso: Variável contínua - Neste caso utilizaremos também a média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo as ponderações dos pontos médios ( xi) destas classes. O valor de xi é a soma dos intervalos de cada classe divididos por dois, isto é , onde li é o limite inferior do intervalo e Li é o limite superior do intervalo, onde o resultado desta soma dividido por dois será chamado de ponto médio dos intervalos. Ex:

A fórmula para cálculo da média é a mesma utilizada na variável discreta, dada por: =

Ex: Determinar a média da distribuição.

Classe

Int. Classe

fi

xi

xi.fi

1

2 5

3

3,5

10,5

2

5 8

10

6,5

65

3

811

18

9,5

171

4

1114

5

12,5

62,5

= 36 = 298,5

- Primeiramente devemos calcular que no exemplo dado é 36.

- Depois calculamos xi que é o ponto médio do limite inferior mais o limite superior dividido por dois , isto é, e assim sucessivamente com os demais intervalos.

- Em seguida calculamos os valores de xifi, isto é xi vezes fi, em seguida sua soma . Assim a média é dada por :

X = então esse é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram, isto é o valor médio dos elementos é de 8,29

B) Estudo da Moda (Mo) em: dados brutos ou Rol, variável discreta e variável contínua.

MODA: é o valor maior dentro da freqüência em um conjunto de dados. A moda é classificada em: amodal (quando todos os elementos são iguais), unimodal (quando apresenta apenas uma moda), bimodal (duas modas), trimodal (três modas) e polimodal (mais de três modas).

1º caso: Dados brutos ou Rol - Identifica-se o(s) elemento(s) de maior freqüência na série, isto é, o que mais se repete.

Ex: Calcule a moda nas séries:

a) X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 5, 12. O elemento que se repete na série é 12, portanto a moda é igual a mo = 12 ( a série é unimodal), pois 12 é o número que se repete em maior quantidade.

b) Y: 3, 5, 8, 20, 12, 7, 12, 15, 18, 5, 12, 20, 20. Os elementos que mais se repetem na série são 12 e 20. Portanto as modas são mo = 12 e mo= 20 ( a série é bimodal) pois são duas modas.

2º caso: Variável discreta - Neste caso é só identificar na coluna da freqüência o maior elemento, pois sendo fi a freqüência simples, esse número será a quantidade que os elementos aparecem na série.

Acidentes registrados em rodovia no período de 30 dias

n. de acidentes por dia

n. de dias

0

12

1

8

2

5

3

4

4

1

A maior freqüência em fi é 12 e a variável correspondente é o número 0 localizado em xi ( variável em estudo número de acidentes) da série, portanto a moda é 0 (mo = 0), isto é, em 12 não ocorreram nenhum acidente. A série é unimodal, pois somente a variável 0 se repete em maior quantidade.

3º