Problemas De Decaimento

Problemas de Decaimento

Numa substância radioativa, cada átomo tem certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se p representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de tempo, é pN, em que N é o número de átomos existentes em cada instante. O número de átomos transmutados por unidade de tempo é também igual a menos a derivada temporal da função N

dN/dt = - pN

Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O conteúdo de C14 em relação ao C12 de qualquer organismo vivo é o mesmo.

A razão é a seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação C14/C12 nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem C14 como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em C14 pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo, madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14.

1. Um osso, contendo 200g de carbono, tem uma atividade beta de 400 desintegrações por minuto. Qual a idade do osso?

Solução

Se o osso fosse um organismo vivo ⇒ 15 desintegrações/min g.

Como temos 200 g,

A0 = 3 000 desintegrações/min

A / A0 = 400 / 3000 = 1/7,5

Depois de n meia-vida A diminui por (1/2)n. Assim, temos.

(1/2)n = (1/7,5) ou 2n = 7,5

ln 2n = ln 7,5 ⇒ n ln 2 = ln 7,5 ⇒ n = (ln 7,5/ln 2) = 2,91 ≈ 3

meias-vidas = 3 x 5730 anos = 16 700 anos ∴ idade do osso = 16 700 anos

2. Certo elemento radioativo tem uma meia-vida de 20 dias. Qual é o tempo necessário para que ¾ dos átomos inicialmente presentes se desintegrem?

Solução

τ = 20 dias ⇒ λ. 20 = 0,693 ⇒ λ = (0,693)/20 = 0,0347 dias-1

(3/4)N0 átomos desintegrando ⇒ ficaremos com N = (1/4)N0

(1/4)N0 = N0 e-λ.t ⇒ ln 0,25 = - 0,0347 t ⇒ t = (1,3863/0,0347) = 40 dias

3. O oxigênio radioativo 158O tem uma meia-vida de 2,1 minutos. Quanto vale a constante de decaimento radioativo λ? Solução

τ