Processos Gerencias

EXERCÍCIO 1 - RESPOSTA

Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir:

RECURSO

DISPONIBILIDADE

Madeira

12m²

Mão-de-obra

8 H.h

O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa a fábrica gasta 2m² de madeira e 2 H.h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3m² de madeira e 1 H.h de mão-de-obra.

Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de $4, e cada armário, de $1. O problema do fabricante é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.

Como se trata de um problema extremamente simples, preparado apenas para demonstração dos fundamentos do Método Simplex, podemos resolvê-lo usando apenas algumas considerações qualitativas. Para isso, inicialmente, vamos criar o modelo de programação linear para o problema proposto.

b) Montagem do Modelo

Como variáveis de decisão, vamos considerar

quantidade a produzir de mesa: x1

quantidade a produzir de armário: x2

Com essa definição de variáveis, podemos escrever as relações matemáticas que formam o modelo.

Assim, para a função-objetivo, temos:Margem de contribuição total Z = 4.x1 + 1.x2

Para as restrições,a relação lógica existente é:

Utilização de recurso Disponibilidade de recurso

Assim, temos:

Para madeira: 12

Utilização de madeira Disponibilidade

para os dois produtos de madeira

Para Mão-de-obra: 8

Utilização da mão-de-obra Disponibilidade

para os dois produtos de mão-de-obra

O modelo completo é:

c) Solução do Modelo Utilizando Raciocínio Lógico

Inicialmente, vamos observar que o conjunto das restrições forma um sistema de desigualdades lineares e, dessa forma, existem infinitas combinações de valores de x1 e x2 que satisfazem as restrições.

Para descobrirmos aquela que produz o maior valor para o objetivo, vamos partir de um par de valores para x1 e x2 e tentar, através de um raciocínio lógico, encontrar um par de valores que fornece um lucro maior.

Como ponto de partida vamos tomar a seguinte combinação

x1 = 0

x2 = 0

Z = 0

Que é uma solução possível para o problema é fácil verificar. Obviamente não é a melhor, já que o fabricante nada produz. Porém, vamos observar o seguinte:

Cada mesa que produzirmos aumenta o lucro de $4;

Cada armário que produzirmos aumenta o lucro de $1.

Como o objetivo é maximizar o lucro, vamos começar a nossa análise pela produção de mesa, mantendo a produção de armário no nível zero. Em termos matemáticos,isso significa que:

x1 deve ser positiva

x2 continua igual a zero.

Bem, com a conclusão acima, precisamos saber agora qual o valor que x1 deve tomar.

Novamente, lembrando que nosso objetivo é maximizar o lucro e já que cada mesa produzida aumenta o lucro de $4, é razoável que procuremos dar a x1 o maior valor possível. Para descobrirmos esse valor, vamos voltar às restrições:

Como x2 = 0, e como queremos o maior valor possível para x1, vamos reescrever as restrições somente em termos de x1:

2.x1 = 12

2.x1 = 8

Assim, se considerarmos apenas o recurso madeira, poderíamos fazer 6 mesas, ou:

Por outro lado, se considerarmos apenas o recurso de mão-de-obra, poderíamos fazer 4 mesas, ou seja:

Como para fazer uma mesa gastam-se simultaneamente os dois recursos, é evidente que o maior valor possível para x1 é 4, já que não teríamos mão-de-obra suficiente para fazermos 6 mesas.

Concluindo, já temos uma segunda programação da produção que dá um lucro melhor que a primeira:

x1 = 4 mesas

x2 = 0 armários

O lucro que se obtém com esta produção é:

Z = 4 x 4 + 1 x 0 = 16

A solução é viável, já que as restrições foram respeitadas:

2 x 4 + 3 x 0 = 8

2 x 4 + 1x 0 = 8

Assim, recapitulando, partimos de uma solução viável ( x1 = 0 e x2 = 0) para outra solução (x1 = 4 e x2 = 0), que dá um lucro maior, usando os seguintes critérios:

Começamos a produção pelo produto que mais contribui parao lucro; nesse caso, a variável que se torna positiva é a que tem maior coeficiente em Z.

Escolhido o produto, sua produção foi estabelecida no maior valor possível, ou seja, deu-se à variável o maior valor positivo possível.

A pergunta que se faz necessária agora é a seguinte: Esta solução encontrada é a melhor de todas ou teremos ainda que encontrar outra?

Para