Progressão Geométrica

Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G.

Dada uma seqüência (a1, a2, a3, a4, ..., an,...), então se ela for uma P.G. an = an-1 . q , com n2 e nIN, onde:

a1 – 1º termo

a2 = a1. q

a3 = a2. q²

a4 = a3. q³ .

an = an-1. q

CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS P.G.s

1. Crescente:

2. Decrescente:

3. Alternante ou Oscilante: quando q < 0.

4. Constante: quando q = 1

5. Estacionária ou Singular: quando q = 0

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Vamos considerar uma P.G. (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Pela definição temos:

a1 = a1

a2 = a1. q

a3 = a2. q²

a4 = a3. q³ .

an = an-1. q

Depois de multiplicarmos os dois membros das igualdades e simplificarmos, vem:

an = a1.q.q.q....q.q

(n-1 fatores)

an = a1

Termo Geral da P.A.

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar, Inserir ou Intercalar m meios geométricos entre dois números reais a e b significa obter uma P.G. de extremos a e b, com m+2 elementos. Podemos resumir que problemas envolvendo interpolação se reduzem em calcularmos a razão da P.G. Mais à frente resolveremos alguns problemas envolvendo Interpolação.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an...), de razão e a soma Sn de seus n termos pode ser expressa por:

Sn = a1+a2+a3+a4... +an(Eq.1) Multiplicando ambos os membros por q, vem:

q.Sn = (a1+a2+a3+a4... +an).q

q.Sn = a1.q+a2.q+a3 +.. +an.q (Eq.2) . Encontrando a diferença entre a (Eq.2) e a (Eq.1),

temos:

q.Sn - Sn = an . q - a1

Sn(q - 1) = an . q - a1 ou

, com