Ricardo Alves Do Amaral

práticos relativos à profissão.

_ Direcionar o estudante para a busca do raciocínio crítico e a emancipação

intelectual.

Para atingir estes objetivos a ATPS propõe um desafio e indica os passos a

serem percorridos ao longo do semestre para a sua solução.

A sua participação nesta proposta é essencial para que adquira as

competências e habilidades requeridas na sua atuação profissional.

Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios da vida

profissional.

AUTORIA:

Gesiane de Salles Cardin Denzin

Faculdade Anhanguera de LimeiraEngenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

Gesiane de Salles Cardin Denzin

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COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

Ao concluir as etapas propostas neste desafio, você terá desenvolvido as competências

e habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.

_ Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à

Engenharia.

_ Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.

_ Desenvolver e/ou utilizar novas ferramentas e técnicas.

Produção Acadêmica

Entregar ao professor da disciplina, impressos, os relatórios gerados em cada etapa,

com a resolução passo a passo de todos os exercícios propostos nas etapas, justificando por

meio dos cálculos realizados, o porquê de cada afirmação ter sido considerada certa ou errada:

• Relatório 1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico.

• Relatório 2 – Sistemas de Numeração e Erros.

• Relatório 3 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 1.

• Relatório 4 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 2.

Participação

Para a elaboração desta atividade, os alunos deverão previamente organizar-se em

equipes de quatro a cinco participantes e entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da

disciplina. Essas equipes serão mantidas durante todas as etapas.

Padronização

O material escrito solicitado nesta atividade deve ser produzido de acordo com as

normas da ABNT1, com o seguinte padrão:

• em papel branco, formato A4;

• com margens esquerda e superior de 3cm, direita e inferior de 2cm;

• fonte Times New Roman tamanho 12, cor preta;

• espaçamento de 1,5 entre linhas;

• se houver citações com mais de três linhas, devem ser em fonte tamanho 10, com

um recuo de 4cm da margem esquerda e espaçamento simples entre linhas;

• com capa, contendo:

• nome de sua Unidade de Ensino, Curso e Disciplina;

• nome e RA de cada participante;

• título da atividade;

• nome do professor da disciplina;

• cidade e data da entrega, apresentação ou publicação.

1

Consultar o Manual para Elaboração de Trabalhos Acadêmicos. Unianhanguera. Disponível em:

<http://www.unianhanguera.edu.br/anhanguera/bibliotecas/normas_bibliograficas/index.html>. Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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DESAFIO

O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num

conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com a cor escura ou não. Quando um

leitor óptico, também chamado de scanners, passa sobre essas barras, a leitura de uma barra

clara é convertida no número 0 (zero) e a de uma barra escura, no número 1.

Observar na figura ao lado, um exemplo

simplificado de um código em um sistema de código

linear com 31 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda para

a direita irá ler: 0101000110101001110101000110101.

Se o leitor óptico for passado da direita para a

esquerda irá ler: 1010110001010111001010110001010.

Marcos é proprietário da empresa de importação chamada “Vendomundo”.

Anos atrás, visando mais eficiência na localização dos contêineres e diminuição dos

erros gerados por interferência humana, Marcos contratou os serviços de uma empresa com

expertise no desenvolvimento de soluções inteligentes para logística portuária e recintos

alfandegados.

Os códigos de barras lineares, bidimensionais e outras tecnologias, como GPS (Sistema

de Posicionamento Global, em português), passaram a ser utilizados pela importadora desde

então, como uma das formas de localização de produtos, unidades logísticas, registro de

contêineres, documentos, serviços e cargas. Essa tecnologia, sem dúvida, trouxe automação

para a maioria dos processos, gerando eficiência, maior controle e confiabilidade para a

empresa.

No sistema de código de barras linear, para organizar o processo de leitura óptica de

cada código, deve-se levar em consideração que alguns deles podem ter leitura da esquerda

para a direita igual à da direita para a esquerda. Para exemplificar, apresentamos o código:

01001000111100010010. Temos aqui um exemplo de um código de barras linear palíndromo.

Curiosamente, a listagem de um novo lote de contêineres da empresa de Marcos,

recentemente desembarcado no porto de Santos, associava um código linear palíndromo a

um dos contêineres.

O desafio proposto neste caderno de atividades é: “descubra o código linear

palíndromo com 34 barras” que chamou a atenção de Marcos pela sua excentricidade.

Para tanto, sete desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado,

deverá ser associado a um número: 0 ou 1. Esses números, quando colocados lado a lado e na

ordem de realização das etapas, fornecerão os dezessete primeiros algarismos (da esquerda

para a direita) que irão compor o código de barras linear palíndromo que foi associado a um

dos contêineres recentemente desembarcado no porto de Santo pela importadora

“Vendomundo”.

Objetivo do Desafio

Encontrar o código de barras linear palíndromo que chamou a atenção do proprietário da

importadora “Vendomundo”, quando checou a listagem dos contêineres desembarcados no

porto de Santos em um determinado dia. Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)

_ Aulas-temas: Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico.

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, os conceitos básicos de

álgebra linear que irão servir de suporte para a compreensão dos métodos numéricos trabalhados

pelo professor da disciplina em cada aula tema da disciplina de Cálculo Numérico.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Fazer as atividades apresentadas a seguir.

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª

ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descreve os conceitos e princípios gerais

de cálculo numérico. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na

Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da

álgebra linear em cálculo numérico.

2. Elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a

pesquisa realizada no passo 1. Esta pesquisa será imprescindível para a compreensão e

realização dos próximos passos.

3. Fazer o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de

alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar a página:

• Geogebra. Disponível em:

<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtUVRaaVBrSDNTc

Vk/edit?usp=sharing>. Acesso em: 02 abr. 2013.

Passo 2 (Equipe)

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A

Nos gráficos a seguir, é apresentada uma interpretação geométrica da dependência e

independência linear de dois e três vetores no 3 R :

a) b) Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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c)

De acordo com os gráficos anteriores, afirma-se:

I – os vetores 1

v e 2

v apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes);

II – os vetores 1 2

v ,v e 3

v apresentados no gráfico (b) são LI;

III – os vetores 1 2

v ,v e 3

v apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente

dependentes);

2. Desafio B

Dados os vetores u = ( ,7 ,4 −1)

r

e v = ( 10 ,3 11 , )

r

, podemos afirmar que u

r

e v

r

são linearmente

independentes.

3. Desafio C

Sendo w E 1 = ,3( − )4 ,3

r

e w E 2 = (− )0 ,2 ,1

r

, a tripla coordenada de w 2w1 3w2

r r r

= − na base E é

E

,9( −12 )8 , .

Passo 3 (Equipe)

Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C, julgando as afirmações

apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser

devidamente registrados.

1. Desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

2. Desafio B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada. Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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3. Desafio C:

Associar o número 1, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação estiver errada.

Passo 4 (Equipe)

Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório

1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico, com as seguintes informações

organizadas:

1. o texto criado à partir da pesquisa realizada no passo 1;

2. os cálculos realizados para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software,

caso este tenha sido utilizado na resolução de algum desafio da etapa 1);

3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 2 (tempo para realização: 05 horas)

_ Aulas-temas: Sistemas de Numeração e Erros.

Esta etapa é importante para que você entenda, de forma prática, o fato de que o

conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, isto é, não é possível

representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a, b].

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª

ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descreve os conceitos de análise de

arredondamento em ponto flutuante. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino

Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e

utilização da teoria de erros. Sugestão de leitura do material complementar:

• CULMINATO. José Alberto. Cálculo Numérico. Disponível em:

<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtS29QeTNNbG

9YdjA/edit?usp=sharing>. Acesso em: 19 abr. 2013.

2. Observar os dois casos apresentados abaixo:

(a) Caso A

Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos da classe

que calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes

valores foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216 2 m ;

45.239,04 2 m e 45.238,9342176 2 m . Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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(b) Caso B

Marcelo obteve a seguinte tabela após o cálculo dos somatórios: ∑

3000

1

5,0 e ∑

3000

1

11,0 :

Ferramenta de Cálculo

∑

3000

1

5,0 ∑

3000

1

11,0

Calculadora 15.000 3.300

Computador 15.000 3.299,99691

3. Considerar os casos A e B apresentados anteriormente e respondam:

• Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A), considerando que

não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma

circunferência e nem na substituição do valor do raio, na mesma?

• Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos dos

somatórios utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença

apresentada no caso B?

Passo 2 (Equipe)

Ler o desafio proposto:

Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 10; 5 dígitos na

mantissa e expoente no intervalo [− 6 ,6 ], pode se afirmar que:

I – o menor e o maior número em módulo nesta representação são dados de forma

respectiva por: 6

1,0 10−

× e 6

,0 99999×10 ;

II – usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 6

,0 12346×10 e

se for usado o truncamento, o mesmo número será representado por 6

,0 12345×10 ;

III – se x = 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 8

4,0 ×10 .

Passo 3 (Equipe)

Resolver o desafio apresentado no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa

ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados

para posteriormente serem apresentados ao professor da disciplina.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada. Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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Passo 4 (Equipe)

Entregar ao professor, para cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de Relatório

2 – Sistemas de Numeração e Erros, com as seguintes informações organizadas:

1. as justificativas para as diferenças encontradas nos casos A e B, do passo 1;

2. os cálculos realizados para a solução do passo 3;

3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 3 (tempo para realização: 05 horas)

_ Aulas-temas: Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, conceitos introdutórios

de sistemas lineares, tais como: a caracterização matemática de um sistema linear; a notação

matricial de um sistema linear; classificação de um sistema quanto à solução – compatível ou

não compatível.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

1. Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª

ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos introdutórios de

sistemas lineares. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet

e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de

sistemas lineares na Engenharia da Computação.

2. Apresentar um caso real de aplicação de sistemas lineares.

3. Utilizar o Software Geogebra como uma ferramenta de apoio para a resolução dos desafios

propostos no próximo passo. Para download do software, acessar o link:

• Geogebra. Disponível em:

<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtUVRaaVBrSDNTcVk

/edit?usp=sharing>. Acesso em: 02 abr. 2013

Passo 2 (Equipe)

Ler o desafio proposto:

Considerar um circuito elétrico representado por:











− =

− =

+ + =

120

65

0

2 1 3 3

1 1 2 2

1 2 3

z i iz

iz z i

i i i

onde, 1

i , 2

i e 3

i são as correntes e z1 =10 , z2 = 8 , e z3 = 3 , as impedâncias pelas quais as

correntes passam.

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar: Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

II – a matriz inversa de A, denotada por





















= −

−

1 07,0 15,0

25,0 09,0 08,0

20,0 02,0 07,0

1 A ;

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é dada por:

79,9 ; 4,11; 13,9. i

1 = i

2 = i

3 = −

Passo 3 (Equipe)

Resolver o desafio proposto no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou

errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e

apresentados ao professor ao final desta etapa.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Passo 4 (Equipe)

Entregar ao professor, como cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de

Relatório 3 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 1, com as

seguintes informações organizadas:

1. o texto criado à partir da pesquisa realizada no passo 1;

2. os cálculos realizados para a solução do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software,

caso este tenha sido usado na resolução do desafio proposto);

3. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

ETAPA 4 (tempo para realização: 05 horas)

_ Aulas-temas: Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares.

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, métodos numéricos para

resolver problemas de sistemas de equações lineares utilizando o Método Exato da

Decomposição LU e o Método Exato de Eliminação de Gauss.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

1. Ler atentamente os capítulos do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª

ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descrevem os conceitos de solução de

sistemas lineares: método direto (exato) e método interativo. Pesquisar também em:

livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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informações ligadas ao estudo e utilização de cada um dos métodos de solução de

sistemas lineares.

2. Apresentar casos reais de aplicações dos dois métodos de solução de sistemas de

equações lineares: método exato e método interativo.

3. Fazer o download do Software VCN_5p1. Este software servirá de apoio para a resolução do

desafio apresentado nesta etapa. Para download do software, acessar o link:

• VCN_5P1. Disponível em:

<https://docs.google.com/file/d/0BzbowUl2pexdUVVSTThDeHZwWHM/e

dit?usp=sharing>. Acesso em: 09 abr. 2013.

Passo 2 (Equipe)

Ler os desafios propostos:

1. Desafio A

Dada a matriz

























=

1 1 5,3 5,2

2 1 4 0

2 2 5 1

2 1 3 0

A .

Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que:

I – a matriz L é dada por:

























5,0 5,0 1 1

1 0 1 0

2 1 0 1

1 0 0 1

;

II – a matriz U é dada por:

























0 0 0 2

0 0 1 0

0 1 2 1

2 1 3 0

2. Desafio B

Considerar os sistemas:

(a)











+ + =

+ + =

− + =

2 4 11

2 5 2 3

4 8

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

(b)















− − + = −

− + + − =

+ − + =

+ + =

3 3 3

3 4

2 1

2

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três

algarismos significativos com arredondamento, podemos afirmar que:

I – a solução do sistema (a) é x1 = ,0 999999 , x2 = − e 1 x3 = 3 .

II – tanto no sistema (a) quanto no sistema (b), a troca das equações não altera a

solução;

III – a solução do sistema (b) é x1 = − ;4,0 x2 = 2,1; x3 = 0,6 e x4 = 3,0 ;

IV – o valor do determinante da matriz A do sistema (b) é -10. Engenharia de Controle e Automação - 1ª Série - Cálculo Numérico

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Passo 3 (Equipe)

Resolver os desafios apresentados no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como

certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente

registrados e apresentados ao professor quando esta etapa for concluída.

Para o desafio A:

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Para o desafio B:

Associar o número 1, se a afirmação I estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.

Associar o número 0, se a afirmação III estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação III estiver errada.

Associar o número 1, se a afirmação IV estiver certa.

Associar o número 0, se a afirmação IV estiver errada.

Passo 4 (Equipe)

Entregar ao professor, como cumprimento dessa etapa, um relatório com o nome de

Relatório 4 - Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 2, com as

seguintes informações organizadas:

1. O texto criado a partir da pesquisa realizada no passo 1.

2. Os cálculos realizados utilizando o software de cálculo numérico VCN_5p1 para a solução

do passo 3 (imprimir arquivo gerado pelo software).

3. Apresentar o código de barras linear palíndromo completo, já com os últimos dezessete

algarismos devidamente colocados. Lembrar que o código de barras linear é palíndromo e

o cumprimento correto de todas as etapas, fornecerão apenas os dezessetes primeiros

algarismos do código. Os demais números deverão ser logicamente deduzidos pela

própria definição de um número palíndromo.

Livro Texto da Disciplina

FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice