Rolamento, Torque E Momento Angular

11-7 MOMENTO ANGULAR

A figura acima mostra uma partícula de massa m e momento linear p(= mv) ao passar por um ponto A de uma plano xy. O momento angular l desta partícula em relação à origem O é uma grandeza vetorial definida através da equação:

onde r é o vetor posição da partícula em relação a O. Quando a partícula se move em relação a O na direção do seu momento linear, o vetor posição gira em torno de O. Para possuir momento angular em relação a O a partícula não precisa estar girando em torno de O.

OBSERVAÇÃO: A relação entre momento angular e momento linear é a mesma que entre o torque e a força.

A unidade de momento angular do SI é o quilograma-metro-quadrado por segundo (kg.m²/s), que equivale ao joule-segundo (J.s).

Para determinar a orientação do vetor angular l na figura, deslocamos o vetor p até que sua origem coincida com o ponto O. Pela regra da mão direita, o vetor posição aponta para o vetor p e l aponta no sentido positivo do eixo z. Este sentido positivo corresponde a uma rotação do vetor posição r no sentido anti-horário em torno do eixo z, associada ao movimento da partícula

OBSERVAÇÃO: O sentido negativo de l corresponderia a uma rotação de r em torno do eixo z no sentido horário.

O módulo de l:

ɸ é o menor ângulo entre r e p.

onde p é a componente de p perpendicular a r e v é a componente de v perpendicular a r.

O vetor momento angular é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e momento linear, r e p.

11-8 SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES

A segunda lei de Newton escrita na forma:

expressa a relação entre força e momento linear para uma partícula isolada.

É de fato uma forma da segunda lei de Newton que se aplica aos movimentos de rotação de uma partícula isolada.

OBSERVAÇÃO: A soma (vetorial) dos torques que agem sobre uma partícula é igual à taxa de variação no tempo do momento angular da partícula.

DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO

Definição do momento angular de uma partícula

11-9 O MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

O momento angular total L do sistema é a soma (vetorial) dos momentos angulares l das partículas do sistema:

Isso significa que a taxa de variação do momento angular L do sistema é igual à soma vetorial dos torques a que estão submetidas as partículas do sistema. Esses torques podem ser torques internos (produzidos por forças exercidas por outras partículas do sistema) e torques externos (produzidos por forças exercidas por corpos externos ao sistema). Entretanto, as forças exercidas pelas partículas do sistema sempre aparecem na forma de pares de forças da terceira lei, de modo que a soma dos torques produzidos por essas forças é nula. Assim, os únicos torques que podem fazer variar o momento angular total do sistema são os torques externos que agem sobre o sistema.

Que é a segunda lei de Newton para rotações.