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Dijalma Tosta de Oliveira

Geraldo Magela Crispim Batista

João Batista de Oliveira

Renata Nepomuceno da Cunha

Patos de Minas - 2013

TEORIA DOS ERROS

“Sempre afirmo que se você puder medir aquilo de que estiver falando e conseguir expressa-lo em números, você conhece alguma coisa sobre o assunto; mas quando você não pode expressa-lo em números, seu conhecimento é pobre e insatisfatório...” Lord Kelvin

1. Medidas e Erros

O aspecto mais importante da Física, Química, Engenharias, assim como outras disciplinas experimentais, é que elas são quantitativas, isto é, suas teorias fundamentam-se em valores médios observados, também chamados medidas. Medir uma grandeza física significa comparar esta grandeza com uma outra grandeza do mesmo tipo escolhida como termo de comparação ou unidade. A medida de muitas grandezas é expressa por um valor numérico seguido de uma unidade, como: 307 cm, 11 volts, 5,6 Kg, etc. Estas grandezas chamam-se dimensionais. Outras medidas constam apenas de um valor numérico sem unidade: o índice de refração de um vidro, a densidade relativa de certo tipo de madeira.. Nestes casos as grandezas são ditas adimensionais.

Quando se repete várias vezes a medição de uma grandeza, na maioria das vezes os sucessivos resultados não coincidem. Os novos valores da grandeza podem diferir muito pouco do valor inicial, mas dificilmente se consegue uma série de valores idênticos. As causas destas flutuações chamam-se erros. Os erros podem ser classificados em dois grandes grupos:

• Erros sistemáticos – São devidos ao pr6prio aparelho de medição, ao método de medida ou até mesmo ao operador. Os erros deste tipo são freqüentemente muito difíceis de descobrir;

• Erros estatísticos ou aleatórios – Quando são corrigidos os erros sistemáticos, verifica-se que as sucessivas medidas de uma mesma grandeza são discordantes. Os erros aleatórios são os responsáveis por essa flutuação de valor. Eles devidos a vários fatores incontroláveis, cada um muito pequeno para ser individualizado, mas que em conjunto produzem efeitos sensíveis, e as medidas refletirão isto pela discordância entre os valores obtidos.

2. Valor mais Provável e Precisão

Sendo diferentes as sucessivas medidas de uma mesma grandeza, perguntamos: com qual valor devemos trabalhar? A resposta é que devemos trabalhar com o valor mais provável ou o melhor valor da grandeza, que é definido como a média aritmética das medidas realizadas.

Considerando x1, x2, ... xN, as N medidas realizadas para uma mesma grandeza, seu valor mais provável é portanto definido por:

(1)

Além disso, podemos estabelecer a incerteza do valor mais provável. Para isto, calcula-se o erro absoluto (também chamados desvio padrão ou incerteza absoluta) das medidas, que são as diferenças algébricas entre a média aritmética e as medidas:

(2)

A seguir, somamos os módulos destes erros e calculamos sua média, obtendo o erro ou incerteza absoluta média:

(3)

O erro absoluto médio é um valor positivo expresso na mesma unidade da grandeza a que se refere. A informação que é transmitida pelo erro médio é que o valor da grandeza, sempre desconhecido, está situado no intervalo:

( ) (4)

Para avaliarmos o peso relativo do erro médio em uma dada medida, utilizamos o erro ou incerteza relativa, que é o quociente do erro médio pela própria média aritmética:

(5)

A precisão de uma medida é expressa pelo erro relativo: quanto menor este erro, maior a precisão, e vice-versa.

Consideramos um exemplo. Abaixo estão seis medidas da massa de um corpo (em gramas):

13,62; 13,63; 13,64; 13,63; 13,60; 13,61.

O valor mais provável da massa do corpo será:

Com quantos algarismos devemos escrever esta média? A resposta será dada pelo erro médio, uma vez que este exprime a incerteza do valor provável. Calculando os desvios das medidas, xj, obtemos:

+ 0,001; - 0,009; - 0,019; - 0,009; + 0,021; + 0,011.

Assim,

Isto é, a incerteza da média aritmética está situada na segunda casa decimal (casa dos centésimos). Portanto, é inútil manter tanto no erro médio como no valor médio, algarismos que estão situados além da casa dos centésimos. O valor final para a massa do corpo será escrito como:

m = (13,62  0,01) g

O erro relativo da medida acima será:

Se tivéssemos adotado desde o início a média aritmética como 13,62, calculando os erros com este valor, chegaríamos ao mesmo resultado. Sempre que calcular o valor médio, leve a operação até uma casa decimal além das que existam nas medidas, apenas para saber como arredondar: se o algarismo desta casa decimal for maior ou igual a 5 abandone-o depois de aumentar de 1 o anterior; se for menor que 5 despreze-o sem alterar o procedente.

Quando há um valor aceito como a melhor medida (valor tabelado VT), valor exato para uma quantidade física, pode-se determinar o Erro Percentual E% para um valor experimental (VEX) como:

(6)

3. Precisão e Acurácia

Precisão