Sistema Massa Mola

Estudo Experimental de um Sistema Massa-Mola

1 – Introdução

O período de oscilação de um sistema massa-mola como o da Figura 1 é dado pela relação T=2π/ω, onde ω é a frequência angular do movimento oscilatório.

Figura 1 - Sistema Massa-Mola

Considerando a massa da mola desprezível frente à da massa (m) acoplada, o período pode ser descrito como:

1.1 – Movimento Harmônico Simples (MHS)

Para podermos compreender este experimento iniciaremos o estudo falando do Movimento Harmônico Simples (MHS).Um exemplo de movimento harmônico simples é o de oscilação de um corpo preso a uma mola quando o atrito no sistema é desprezível. Num MHS a variável x determina a posição do corpo oscilante, medida a partir do ponto de equilíbrio e recebe o nome de Amplitude.O MHS é um movimento periódico. Sendo f a frequência e T o período, temos:

1.2 – Massa-Mola

O sistema massa-mola é a forma mais simples de ilustrar um sistema vibratório, através dele veremos que o período de oscilação depende da massa do objeto preso à mola e de sua constante elástica k.

O oscilador massa-mola é constituído por um corpo de massa (m) ligado uma mola de constante elástica (k), presa por uma das extremidades. Cada mola tem a sua constante elástica, que depende do material de que é feita e da sua geometria. O corpo executa o MHS em uma posição vertical e sem atrito. Quando a mola é comprimida (ou esticada) e liberada, o corpo passa a executar um movimento unidimensional de vai-e-vem. Este movimento é regido pela Lei de Hooke, que relaciona força restauradora com o deslocamento da massa:

Onde F é a força elástica em Newtons, x é o deslocamento em metros e k é a constante elástica da mola.

Para determinar a rigidez da mola (k) aplicaremos a fórmula a seguir:

Onde:

G – É o modulo de elasticidade transversal;

d – Diâmetro do arame;

D – Diâmetro médio do enrolamento/espira;

n – Número de espiras ativas;

Com uma massa (m) acoplada a esta mola podemos medir a deformação estática resultante(x0) e uma vez que m e ksão conhecidos, podemos definir a equação do movimentoa qual possibilita obter um histórico do movimento da massa a partir de sua posição de equilíbrio em função do tempo.

(1)

Se dividirmos a equação do movimento (1) pela massa, teremos:

(2)

Após a modelagem matemática do problema chegamos à equação que descreve o movimento oscilatório.

(3)

Onde A e B dependem das condições iniciais,

A equação (3) poderá ser escrita como:

(4)

Como não iremos lançar a massa m, e sim liberá-la no espaço, não teremos a condição inicial V0, desta formao valor máximo da Amplitude será dado pelo deslocamento (x0) da mola em metros, a partir do momento que acoplamos uma massa m, ou seja:

Desta forma chegamos à resposta do sistema que e dada pelas funções:

x(t) = Acos(ωnt)

v(t) = x`= -ωnAsen(ωnt)

a(t)= x``= -ωnAcos(ωnt)

1.3 – Objetivos

Este experimento nos permitirá:

• Aplicar os conhecimentos adquiridos durante o curso de Vibrações Mecânicas;

• Observar e analisar o movimento oscilatório de um sistema massa-mola;

• Analisar e medir períodos de oscilação do movimento com uma massa acoplada a uma mola;

• Plotar e analisar os gráficos da resposta do sistema.

2 – Metodologia

2.1 – Materiais Necessários

• 1 Mola (mola de caderno, resistência de chuveiro, etc.);

• 1 bloco de massa (m);

• Uma régua ou escala com 40cm;

• Paquímetro;

• Suporte para fixação do sistema massa-mola;

• Balança de precisão;

• Cronômetro.

2.2 – Procedimento

1. Construa o sistema massa-mola, como mostrado na Figura 2;

Figura 2

2. Meça, com o auxilio de uma régua a Amplitude máxima X0,conforme mostrado na Figura 3. Lembrando que x0 = L2-L1;

Figura 3

3. Com o auxílio de um paquímetro dimensione a mola e