Sistema Operacional

Etapa 3

Passo 1

Fazer uma pesquisa, na biblioteca de sua unidade, sobre a aula-tema. Produza um exercício de programação linear focado na produção de dois itens (duas variáveis), em uma mesma linha de produção.

Um alfaiate tem disponíveis os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido é necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de l. se um terno é vendido por R$ 300,00 e um vestido R$ 500,00, quantas peças de todos os tipos o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema?

X1= Terno

X2= Vestido

Z=300x1+500x2

Restrições:

Algodão: 2x1+1x2 ≤ 16

Seda: 1x1+2x2 ≤ 11

Lã: 1x1+3x2 ≤ 15

x1,x2 ≥ 0

Etapa 4

Passo 2

Programação Linear

Segundo CAIXETA-FILHO (2004), programação linear é um aprimoramento da técnica de resolução de sistema de equações lineares via inversões sucessivas de matrizes, com a vantagem de incorporar uma equação linear adicional representativa relacionada com um comportamento que deve ser otimizado. A programação linear é um das técnicas mais utilizadas na pesquisa operacional. Sua aplicação é facilitada devido a simplicidade do modelo e a disponibilidade de uma técnica de solução programável em computador. As aplicações mais comuns são feitas em

Produção, Finanças, Logística, Matemática aplicada entre outras SILVA et al. (1998).

Elaboração do Modelo

SILVA et al. (1998), apresenta o seguinte roteiro para a formulação do modelo matemático de programação linear:

a) Variáveis de decisão

Consiste em explicar as decisões que deverão ser tomadas. Por exemplo, se for um problema de programação de produção, as variáveis poderão representar as quantidades a produzir de cada produto em um determinado período.

b) Função objetivo

Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, é a otimização (maximizar ou minimizar algo) desejado. Geralmente aparecem na forma de maximização de lucros ou receitas; minimização de custos ou perdas etc

c) Restrições

Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), elaboradas com as variáveis de decisão. Por tanto, as variáveis de decisão poderão estar sujeitas a uma o mais limitações. Normalmente as variáveis de decisão podem assumir apenas valores positivos, sendo assim faz-se necessário também expressar as restrições de não negatividade. Para exemplificar o a montagem de um modelo, considere o seguinte problema extraído de SILVA et al. (1998) pg. 19. “Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas”. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a

10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter lucro máximo? Construa o modelo do problema”. Nota: u.m. corresponde a unidade monetária.

Solução:

a) Variáveis de decisão

As variáveis de decisão representam os valores desconhecidos referentes ao problema proposto. No caso desse problema, não sabemos a quantidade de caixas de pêssegos e de tangerinas que devemos transportar, portanto esse problema possui duas variáveis, podemos chamálas de x1 e x2 onde:

x1 → representa a quantidade de caixas de pêssego a ser transportada.

x2 → representa a quantidade de caixas de tangerina a ser transportada.

Note que a quantidade de caixas de laranja foi fixada em 200.

b) Função Objetivo

A função objetivo define a otimização desejada. No caso desse problema, deseja-se a maximização do lucro. O lucro atribuído a cada tipo de fruta deve ser multiplicado pela respectiva quantidade

a ser transportada, portanto a função objetivo é expressa pela seguinte equação:

10 30 4000 1 2 L = x + x + (1)

Onde:

L é o lucro máximo.

10 lucros por cada caixa de pêssego transportada.

X1 quantidade de caixa de pêssego a ser transportada.

30 lucros por cada caixa de tangerina transportada.

X2 quantidade de caixa de tangerina a ser transportada.

4.000 lucros obtidos pelo transporte de 200 caixas de laranja a 20 u.m. cada.

c) Restrições

As restrições definem as limitações a que o problema está sujeito. Neste caso, há três restrições: Sendo a quantidade total de caixas a serem transportadas, a quantidade de caixas de pêssego deve ser de pelo menos 100 e a de tangerina no máximo 200. Portanto teremos três inequações denominadas como restrições técnicas. Total de caixas a serem transportadas.

200 800 1 2 x + x + <= ou 600 1 2 x + x <= (2)

Mínimo de caixas de pêssego.

100 1 x >= (3)

Máximo de caixas de tangerina.

200 2 x <= (4)

Devemos também expressar as restrições de não negatividade para que as variáveis de decisão não assumam valores negativos. Então, teremos mais duas inequações:

0 1 x >= (5)

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