Trabalho De Análise

Prove que toda sequência convergente e limitada. Dê um exemplo de que a recíproca não é válida.

Seja a=lim x_n.Então, tomando Ɛ = 1, vemos que existe n_0 ∈ N tal que n > n_0 ⇒ x_n ∈ (a-1, a+1). Consideremos o conjunto finito F= {x_1, x_2,..., x_n0, a-1, a+1}. Sejam c o menor e d o maior elemento de F. Então todos os termos x_n da sequência estão contidos no intervalo [c, d]; logo a sequência é limitada.

A recíproca não é válida : a sequência (0,1,0,1,...) é limitada mas não é convergente porque possui duas subsequências que convergem para limites diferentes, a saber, (0,0,0,...) e (1,1,1,...).

Sejam a e b dois números reais positivos com a < b. Considere a sequência x_n de termos pares x_2n = a^n b^n e termos ímpares x_(2n+1)= a^(n+1) b^n. Ache lim x_(n+1)/x_n e lim √(n&x_n ) se existirem.

A sequência x_(n+1) possui termos pares x_(2n+2) = a^(n+1) b^(n+1) e termos ímpares x_(2n+3) = a^(n+2) b^(n+1)

lim x_(n+1)/x_n lim (a^(n+1) b^(n+1))/(a^n b^n ) = ab

lim (a^(n+2) b^(n+1))/(a^(n+1) b^n )= ab

Logo, lim x_(n+1)/x_n = ab

lim √(n&x_n ) lim √(n&a^n b^n )= ab

lim √(n&a^(n+1) b^n )= ab√(n&a^ )= ab.1= ab

Logo, lim √(n&x_n ) = ab

Seja x_n a sequência de número reais com x_n = (4n^2)/(3n^2+1). Usando a definição, mostre que lim x_n= 4/3.

Para que lim x_n= 4/3 é necessário que|(4n^2)/(3n^2+1)- 4/3|< Ɛ

|(4n^2)/(3n^2+1)- 4/3|= |(12n^2-12n^2-4)/(3(3n^2+1))|= 4/(3(3n^2+1))= 4/(9n^2+3) < 4/(9n^2 ) < 4/9n < 1/n < 1/n_0 = Ɛ

n> n_0⇒1/n<1/n_0

Tomando Ɛ=1/n_0 , o resultado segue.

Prove que a sequência x_n, com x_n = (n+3)/(n+1) é de Cauchy.

Como n> n_0⇒1/n<1/n_0

Para que x_n seja de Cauchy |x_(n+p)-x_n |< Ɛ

|(n+p+3)/(n+p+1)- (n+3)/(n+1)|= |((n+p+3)(n+1)-(n+p+1)(n+3))/((n+p+1)(n+1) )|=

|(n²+np+3n+n+p+3-n^2-np-n-3n-3p-3)/((n+p+1)(n+1) )|= 2p/(n²+np+2n+p+1) < 2p/(np+p) = 2/(n+1) < 2/n < 2/n_0 =Ɛ

Tomando Ɛ= 2/n_0 e m=n+p, |x_m-x_n |< Ɛ. E, portanto a sequência é de Cauchy.

Seja r ∈ Q. Aplique o teste da razão na série ∑_(n=1)^(+∞)▒〖n^r b^n 〗 e determine para quais valores de b a série converge.

|a_n/a_(n+1) | = |(〖(n+1)〗^r b^(n+1))/(n^r b^n )|=|(〖(n+1)〗^r b^ )/n^r |= (〖(n+1)〗^r b)/n^r

lim┬(n→+∞)⁡〖(〖(n+1)〗^r b)/n^r 〗 = lim┬(n→+∞)⁡〖((〖(n+1)〗^r b)/n^r )/(n^r/n^r )〗 = lim┬(n→+∞)⁡〖((〖(n+1)〗^r b)/n^r )/(n^r/n^r )〗 = lim┬(n→+∞) (〖1+1/n)〗^rb = b