Trabalho De Matemática

ATPS Matemática

Conceito de derivada

Começaremos pela taxa de variação média de uma função, que mede o impacto que uma variação na variável independente causa na variável dependente, ou seja, qual a variação em (y) quando alteramos o valor de (x).

Taxa de variação instantânea

Essa é a taxa de variação de um momento específico, e não de um intervalo, como no caso anterior. É utilizada para intervalos de tempo muito pequenos. A intenção, neste caso, é cal¬cular uma taxa de variação de um intervalo tão pequeno que se aproxime muito do próprio f(x).

O conceito de derivada é a própria taxa de variação instantânea mostrada. A derivada do ponto é simbolizada por f’(x). Graficamente, a derivada representa a inclinação da reta secante que liga os pontos (x) e (x+h). No gráfico a seguir, fazendo f(x)=x², a reta secante é tangente ao ponto no intervalo -3 e -2 e, portanto, representa a derivada.No entanto, há pontos nos quais as derivadas não existem. Se a função limite descrita para calcular a taxa de variação for igual a + ou - , não há tangente no ponto. Se os limites laterais forem diferentes, também não haverá derivada.

Regras de derivação Função constante

Se uma função é constante, quer dizer que não varia, ou seja, assume um único valor. Por¬tanto, sua derivada é zero.

f(x)=k, e (k) é constante. Então, f’(x)=0.

Função do 1o grau

Se f(x)=m*x+b, a variação da função é dada por (m*x). Então, f’(x)=m.

Constante multiplicando função

Se há uma constante multiplicando a função f(x)=k*m(x), com (m) e (k) diferentes de zero, então f’(x)=k*m’(x). A constante (k) multiplica a derivada da função m(x).

Soma ou diferença de funções

Se f(x)=u(x)+z(x), então f’(x)=u’(x)+z’(x). O mesmo vale para operações de subtração. Deri-vam-se as funções, e as operações de soma ou diferença não se alteram.

Potência de x

Seja f(x)=xn, em que (n) é um número Real. Então, f’(x)=n*xn-1.

Notação de Leibniz

Até agora, sempre representamos uma função derivada como f’(x) ou y’. Na notação de Leibniz, desenvolvida pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, a derivada de (y) em função de (x) é representada como: dy/dx

Essa representação é um símbolo, e não exatamente uma divisão de funções ou valores. É apenas uma menção à divisão Δy÷Δx para valores muito pequenos.

Regra da cadeia com a notação de Leibniz

Para realizar a regra da cadeia, em que uma derivada é obtida pela decomposição das fun¬ções, com a notação de Leibniz temos que:

f(x)=z[u(x)]

Isto quer dizer que a derivação de (y) irá ocorrer em função de (x), pois (y) é uma função de (x). Assim: / dy/dx=y²

Mas podemos simplificar f(x)=z[u(x)] como y=z(u), em que (u) é uma função de (x). Deste modo, a derivada será: dy/du.du/dx=dy/dx

Isto quer dizer que (y) está em função de (u) e que (u) está em função de (x). Aqui, (dy/du) representa a derivada da função externa z’(u) e (du/dx) representa a derivada da função interna u’. Lembrando que, sem utilizar a notação de Leibniz, a derivada fica y’=z’(u)*u’.

Derivada segunda e derivadas de ordem superior

A derivada de uma função representa a taxa de variação instantânea de f(x). A derivada se-gunda, ou derivada de segunda ordem, é a derivada da derivada da função, ou seja, a taxade variação da taxa de variação de f(x). Este caso é representado pelos símbolos: d²y/dx²=y"=f"(x)

Seguindo este exemplo, podemos generalizar para obtermos uma função derivada n-ésima ou função derivada de ordem (n). Neste caso, a função derivada seria representada por:

dny/dxn = yn = f(n)(x)

Isto significa derivar (n) vezes a função f(x).

VI. Diferencial

Lembre-se da notação de Leibniz, na qual dy/dx=f"(x)

Matematicamente, é a mesma coisa que escrever:

dy=f’(x)*dx

Então, a diferencial dy é obtida pela multiplicação da derivada de f(x) pela diferencial dx. Esta é a função diferencial de y=f(x).

VII. Pontos de máximos e mínimos locais de uma função

Para entender o ponto de máximo ou mínimo local, deve-se entender que há um intervalo determinado de análise, ou seja, tal ponto será o maior ou menor valor assumido pela fun¬ção dentro de determinado intervalo do domínio da função. Por exemplo, se dissermos que o domínio da função f(x) é o intervalo [2;8[, haverá um valor assumido por x1 entre 2 e 8 que retornará o maior valor dentro deste domínio e outro valor de x2 que retornará o menor valor. Portanto, x1 é máximo local e x2 é mínimo local.

Pontos de máximos e mínimos globais de uma função

O entendimento de pontos globais é semelhante ao caso de pontos locais, com a diferença de que agora f(x) assumirá um ponto máximo ou mínimo, considerando todo o domínio da função, e não apenas um intervalo.

Pontos críticos

Um ponto é chamado de ponto crítico se f’(x1)=0 ou se f’(x1) não existir. Se houver ponto crítico, o valor de x1 é chamado de número crítico e f(x1) de valor crítico. Resumidamente, são os pontos nos quais as derivadas valem zero ou não existem. Repare na Figura 8.2 que f(3)=1 e f(10)=8 são pontos críticos, pois em uma função contínua os pontos de máximos e mínimos locais e globais do intervalo serão pontos críticos.

Derivada e crescimento/decrescimento de uma função

A derivada é a taxa de variação do ponto. Isso quer dizer que, se a derivada de f’(x1)=2, qualquer variação no valor de (x) próximo ao valor de x1 acarretará uma variação em f(x) duas vezes maior. Assim, a variação é crescente e,