Trabalho Sobre Divisibilidade

Instituto de Matemática da UFBA		Departamento de Matemática
Fundamentos da Matemática Elementar III		Semestre: 2005.1
Prof. Eliana Prates		Aluno: Kleber L. Santos

Aula: Critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 9 e 25 na base 10. Exemplos em outras bases. Aplicações

Critérios de divisibilidade

Sejam n ∈ N e amam-1am-2am-3 ........ a1a0  sua representação na base 10, isto é,

n = [pic 1]ai10i com  ai∈ N, e 0[pic 2]ai<10, [pic 3]i=0,...,m, m ∈ N

Proposição. n é divisível por 2 se, e somente se a0  é par. Ou seja se a0 ∈ {0,2,4,6,8}

Demonstração:

        Observamos que toda potência 10m (m[pic 4]1) é um número par.

        Logo

                n= a0  + a1(2q1) + ... +  am(2qm) = a0  + 2(a1q1 + ... +  amqm)  para q1, ..., qm ∈ N

        fazendo

                q= a1q1 + ... +  amqm 

        temos

                n= a0 + 2q  com q ∈ N

        como 2q é divisível por 2 então n é divisível por 2 se e somente se a0 é também divisível por 2

                ou seja se a0 ∈ {0,2,4,6,8}   

Exemplo.

        2700 é divisível por 2 pois ao=0

        1973 não é divisível por 2 pois ao=3

Proposição. n é divisível por 3 se, e somente se a0  + a1 + ... +  am-1 + am é divisível por 3.

Demonstração:

        Primeiro observamos que o resto da divisão de 10m  por 3 é sempre 1, para todo m∈ N 
temos então 10m=3s+1 com s∈ N 

        Vamos fazer indução sobre m

        Para m=0 temos

                100=3.0+1

        Suponhamos que para algum m[pic 5]0

                10m=3s+1 com s∈ N seja verdade

        Então temos

        10m+1 = 10m10 = (3s+1).(3.3+1) = 3.(9s)+3s+3.3+1 = 3(9s+s+3)+1 = 3(10s+3)+1

        Pelo principio de indução a afirmação é valida para todo m∈ N 

        Assim temos

                n= a0 + a110 +  ...  + am-110m-1 + am10m = a0 + a1(3s1+1) + ... + am(3sm+1) = (a0 + a1 + ... + am-1 + am) + 3(a1s1 + ... + amsm)  para s1, ..., sm ∈ N

        Portanto n é divisível por 3 se, e somente se a0  + a1 + ..... +  am-1+ am é divisível por 3.

Exemplo.

        2004 é divisível por 3  pois a3 + a2 + a1+ a0 = 6, que é divisível por 3, logo 2004 também é divisível por 3

                415 não é divisível por 3 pois a2 + a1+ a0 = 10, que não é divisível por 3.