Triangulo De Pascal

Triˆangulo de Pascal

O Matem´atico francˆes Blaise

Pascal (1623–1662) foi uma

crian¸ca prod´ıgio que

descobriu sozinha, sem

aux´ılio de livros, muitas das

id´eias fundamentais da

Geometria Euclideana.

Pascal foi um dos pioneiros

no estudo da probabilidade,

e tamb´em tem o cr´edito de

ter inventado e constru´ıdo a

primeira calculadora digital:

uma m´aquina de somar

mecˆanica parecida com as

m´aquinas da d´ecada de 40

deste s´eculo.

Objetivos

Descrever o triˆangulo de Pascal.

Estudar algumas de suas propriedades.

Apresentar a seq¨uˆencia de Fibonacci e mostrar sua rela¸c˜ao com o triˆangulo

de Pascal.

O triˆangulo de Pascal ´e uma seq¨uˆencia de n´umeros binomiais, isto ´e,

inteiros da forma C(n, r), dispostos em uma tabela em forma de triˆangulo,

como na figura abaixo.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

O nome “triˆangulo de Pascal” vem do fato de Pascal ter escrito, em

1653, um tratado estudando, entre outras coisas, este triˆangulo. Contudo, o

triˆangulo de Pascal ´e conhecido desde muitos s´eculos antes de Pascal, tendo

sido estudado na China e na ´India desde 1100.

Vamos come¸car escrevendo os n´umeros binomiais em forma de tabela.

A “linha n” desta tabela ser´a formada pelos inteiros C(n, r), onde r varia de 0

at´e n. Come¸camos a tabela com a linha 0, formada apenas pelo C(0,0) = 1.

Por exemplo, a linha 4 ´e formada pelos inteiros C(4, r), com 0  r  4,

isto ´e, formada pelos cinco inteiros

C(4, 0) C(4, 1) C(4, 2) C(4, 3) C(4, 4)

k k k k k

1 4 6 4 1

109 CEDERJ

DIISCRETA

MATEMÁTICA Triˆangulo de Pascal

Note que, como come¸camos na linha 0, a linha 4 ´e na verdade a quinta

linha da tabela. Usado a regra de forma¸c˜ao explicada acima, constru´ımos a

tabela:

nr 0 1 2 3 4 5 6 · · ·

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

...

Escrevemos a tabela acima at´e a linha 6. No entanto, a tabela continua

indefinidamente.

Observando a tabela, podemos perceber v´arias propriedades que podem

ser facilmente provadas usando-se a defini¸c˜ao do triˆangulo da Pascal dada

acima.

A ilustra¸c˜ao acima aparece

em um texto de 1303, escrito

por um matem´atico chinˆes.

O texto chama-se Szu-Yuen

Yu-chien (o espelho precioso

dos 4 elementos).

Vamos a estas propriedades:

Propriedade 1

Propriedade 1. Toda linha come¸ca e termina com o inteiro 1.

Demonstrac¸˜ao: o primeiro n´umero da linha n ´e

C(n, 0) =

n!

0!(n − 0)!

=

n!

1.n!

= 1 ,

enquanto que o ´ultimo n´umero da linha n ´e

C(n, n) =

n!

n!(n − n)!

=

n!

n!0!

= 1 .

Propriedade 2

Propriedade 2. Com exce¸c˜ao do primeiro e ´ultimo n´umeros da linha

(que, como vimos, s˜ao iguais a 1), cada n´umero ´e igual `a soma do

n´umero que est´a diretamente acima dele, com o n´umero que est´a

acima e `a esquerda.

CEDERJ 110

Triˆangulo de Pascal

M´ODULO 1 - AULA 12

Desta forma, come¸cando com a primeira linha, obtemos o triˆangulo at´e

a linha que quisermos, obtendo uma linha a partir da linha anterior, sem

realmente ter que calcular os n´umeros binomiais C(n, r).

Como exemplo, vejamos como a linha 5 ´e obtida da linha 4:

1 + 4 + 6 + 4 + 1

1 5 10 10 5 1

Obtemos um n´umero somando-se dois n´umeros, os que est˜ao acima e

acima `a esquerda dele.