ISMAEL CAGA NO POSSO

Retas

Geometria analítica: retas

Introdução

Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.

Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algébrica de um segmento

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano

A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.

Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos:

• A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)

• B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Razão de secção

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta , o ponto C divide numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:

em que , pois se , então A = B.

Observe a representação a seguir:

Como o , podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos:

• Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide é:

Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:

• Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:

Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado contido em um eixo, temos:

• se P é interior a , então rp > 0

• se P é exterior a , então rp < 0

• se P = A, então rp =0

• se P = B, então não existe rp (PB = 0)

• se P é o ponto médio de , então rp =1

Ponto médio

Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao meio, temos:

Assim:

Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:

Baricentro de um triângulo

Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto, são as medianas desse triângulo:

Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo.

Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado.

Veja:

Cálculo das coordenadas do baricentro

Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de , temos:

Mas:

Analogamente, determinamos . Assim:

Condições de alinhamento de três pontos

Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:

a) três pontos alinhados horizontalmente

Neste caso, as ordenadas são iguais:

yA = yB = yC

e