ATPS TGA 2 Periodo

ANHANGUERA EDUCACIONAL

Disciplina: Matemática Aplicada

Professora: Luciana

ALESSANDRA VIEIRA LINS

Atividade Prática Supervisionada

2º Periodo - Noturno

2014

FACULDADE ANHANGUERA NITERÓIS – UNIPLI

Etapa 1 - Aula-tema: O conceito de derivada.

Passo 1

O estudo das derivadas é resultado de um longo e lento processo de analises iniciado na antiguidade e aperfeiçoado no decorrer das décadas. Por definição podemos dizer que trata-se de uma forma de representar a taxa de variação de uma função ou, partindo de outro ponto de vista, poderíamos dizer que, assim como o nome sugere, derivar trata-se de encontrar a equação de onde provém a outra ou simplesmente a sua origem.

Passo 2

f(x) = 7x

f’(x) = 7

Passo 3

Exemplo 1:

Vamos através de uma demonstração encontrar a taxa de variação da função f(x) = 5x+6. 

f(x) = 5x+6 

f(x + h) = 5*(x + h)+6

f(x + h) = 5x+5h+6 (h ≠ 0) 

f(x + h) − f(x) = 5x+5h+6-(5x+6) 

f(x + h) − f(x) = 5x+5h+6-5x-6 

f(x + h) − f(x) = 5h

Ou seja:

f '(x)=5

Analisando o exemplo acima podemos verificar que a taxa de variação geral para a função apresentada equivale a 5.

Exemplo 2

Ainda usando a função f(x)=5x+6 vamos calcular f(2) e as variações f(2+1) e f(2-1) a fim de provar o exemplo anterior.

F(x)=5x+6 F(2+1)= 5(2+1)+6 F(2-1)= 5(2-1)+6

F(2)=5*2+6 F(2+1)= 15+6 F(2-1)= 5+6

F(2)=16 F(2+1)= 21 F(2-1)= 11

Analisando esse segundo exemplo, em conjunto ao primeiro podemos notar a aplicação da taxa de variação obtida anteriormente na prática, ou seja, para cada alteração aplicada houve a variação proposta.

ETAPA 2- Aula-tema: Técnicas de derivação

Passo 1

Em termos gerais temos que a derivada de uma função se dá pela regra:

No entanto em muitos casos o processo de derivação se tornaria extremamente longo e complexo, por isso devemos fazer uso de alguns métodos de derivação, a fim de facilitar e tornar mais prático o processo de derivação, são esses processos:

1 – Função Constante

Seja a função f(x)= k, onde k é uma constante, teremos que f’(x)= 0

2 – Função Linear

Seja a função dada por f(x)= ax + b, sua derivada será f’(x)= a

3 – Soma ou diferença de funções

Seja a função f(x) obtida a partir das somas de g(x) e h(x), ou seja, f(x)= g(x) + h(x), então sua derivada será a soma das derivadas das funções que a originou, logo, f’(x)= g’(x) + h’(x).

4 – Potência de x

Seja a função f(x)= xn sua derivada será f’(x)= nxn-1

5 – Função Exponencial

Seja a função f(x)= ax onde “a” é um numero real maior e diferente de que 1, sua derivada será dada por f’(x)= ax ln(a)

6 – Função exponencial na base “e”

Seja a função f(x)= ex onde “e” equivale ao numero exponencial ( aproximadamente 2,71828...), sua derivada será dada pela própria função, ou seja, f’(x) = ex.

7 – Logaritmo Natural

Seja a função f(x)= ln(x), sua derivada será

8 – Produto de Funções

Seja a função f(x) obtida a partir da multiplicação de g(x) por h(x), ou seja, f(x)= g(x) * h(x), então sua derivada será f’(x)= g’(x)*h(x) + h’(x)*g(x)

9 – Quociente de Funções

Seja a função f(x) obtida a partir da divisão de g(x) por h(x), ou seja, , então sua derivada será

10 – Função Composta (Regra da Cadeia)

Seja a função f(x) obtida a partir da função composta entre h(x) e g(x), ou seja, f(x)= h(g(x)), sua derivada será obtida por f’(x)=h’(g(x))*g’(x)

Passo 2

Pede-se calcular a derivada de f(x) = 3x² + 5x – 12

Partindo pelo principio de que se f(x)= axn logo f’(x)= n*axn-1 e sabendo que a derivada de um numero inteiro é sempre 0 temos a seguinte situação:

f(x)= 3x2 + 5x – 12

f’(x)= 2*(3x2-1) + 1*(5x1-1) – 12

f’(x)= 6*(x1) + 5*(x0) – 0

f’(x)= 6x + 5

Passo 3

Alternativa correta é:

“d) A taxa de variação media é a inclinação da reta secante”

Vamos usar a função f(x)= 10x2-2x no intervalo [2,4] como exemplo:

f(2)= 10.22 - 2.2 f(4)= 10.42 - 2.4

f(2)= 10.4 – 4 f(4)= 10.16 – 8

f(2)= 40 – 4 f(4)= 160 -8

f(2)= 36 f(4)= 152

TVM = 58

Sabendo que a equação da reta secante é expressa por “y = ax + b”, podemos resolve-la da seguinte forma:

y= ax + b

y = 152x +b

4 = 152*2 +b

4 – 304 = b

b= -300

Assim sendo a equação final da reta secante é dada por y = 152x - 300

Passo 4

Para determina a equação tangente à curva C(q)=q²-6q+8 devemos seguir as seguintes etapas:

Primeiramente vamos Calcular C(1):

C(1) = 1² - 6.1 + 8

C(1) = 1-6+8

C(1)= 3

Ou seja, quando q=1 então C(1)=3, em outras palavras, o ponto de tangencia é dado pelas coordenadas (x,y), representadas por (1,3) .

Agora vamos determinar o coeficiente angular da reta tangente, derivando a função: 

C(q) = q² - 6q + 8

C'(q) = 2q - 6

Em seguida devemos calcular C’(1).

C’(1)= (2*1)-6

C’(1)= 2-6

C’(1)= -4  

Agora vamos fazer uso da equação reduzida y = ax + b, onde “a” equivale ao valor encontrado acima:

y = -4x + b

Ainda precisamos encontrar o valor de “b”, para isso vamos substituir os valores x= 1 e y= 3 encontrados anteriormente.

y= -4x + b

3 = -4.1 + b 

b = 7 

Agora é só retomar a equação reduzida  y = ax + b e substituir os valores de "a" e "b" para finalmente obter a equação da reta tangente conforme solicitado é y = -4x + 7.

Para montar o gráfico vamos encontrar os seguintes pares ordenados: (x;0) e (0;y)

Para y=0: -4x+7 = 0 logo: x= :. x= 1,75. Obtendo o par ordenado (1,75; 0)

Para x= 0: y= -4*(0)+7 :. y= 7. Obtendo o par ordenado (0; 7)

Assim sendo, traçamos o gráfico abaixo

.

ETAPA 3 - Aula-tema: Aplicações das derivadas no estudo das funções..

Passo 1

Problemas existem e sempre vão existir, e em dos objetivos da matemática é tornar o método de tomada decisões mais racional possível, para a resolução de problemas, no entendimento dos fatos, concluímos que a matemática tem como objetivo capacitar o administrador a formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor resultado. O administrador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informação para o processamento de dados, produzindo informação, que ajudará a visualizar e analisar gráficos, projetos, relatórios, simulação de vendas, planejamentos das despesas, análise de receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. O fato de você ter se formado levando a sério o seu Curso de Administração que é o segundo melhor curso valorizado do mundo, em um ambiente de pesquisa, de ter sido habituado a questionar, buscar novas soluções, verificar suas ideias e compará-las com as de outros será uma vantagem no mercado de trabalho, sabemos que, em relação aos consumidores, a demanda de um produto pode ser associada a seu preço. Em geral, se o preço aumenta, a demanda diminui.

Na atividade operacional de uma empresa diversos fatores contribuem para a formação da receita proveniente do volume de vendas, fatores como volume da produção e potencial de mercado não podem ser esquecidos na formação da receita: porem em pequenos intervalos, onde já foram consideradas as variáveis restritivas, e considerando-se o preço constante nesse intervalo de produção, o rendimento total da empresa ou receita total, será função, somente, da quantidade vendida. Os conceitos de que referimos não são desta cadeira mas sim são tratados nesta no ponto de vista totalmente matemático, por isso não deveremos nos aprofundar.

Função Custo – C (q);

Função Custo Médio – Cme (q);

Função Custo Marginal – C’ (q);

Função Custo Médio Marginal – C'me(q);

Função Receita – R (q) = p.q = p. f (q) se p = f (q) – equação da demanda (preço) do produto e q quantidade demandada ou ofertada;

Função Receita Marginal – R’ (q);

Função Lucro – P (q) = L (q) = π (q);

Função Lucro Marginal – P' (q) = L' (q) = π' (q);

Elasticidade da demanda – E (p);

Propensão Marginal a consumir e a poupar.

Elasticidade

Elasticidade – Preço da demanda.

Para produtos diferentes, existem diferentes comportamentos de mudança da demanda em relação às variações de preços. Por exemplo, se houver um considerável aumento no preço de sal, a demanda dos consumidores praticamente não se altera, uma vez que tal produto é indispensável e tem pouco peso no orçamento doméstico; entretanto, se houver um considerável aumento no preço da carne bovina, a demanda se alterará, uma vez que tal produto pode ser substituído por outros tipos de carnes, além de ter grande peso no orçamento doméstico.

Assim, de maneiras diferenciadas, a demanda por um produto é " sensível" à mudança dos preços. Avaliaremos a "sensibilidade" da demanda em relação às mudanças de preços com o auxílio do conceito elasticidade – preço da demanda.

De modo simplificado, podemos dizer que, para as famílias, o consumo somado à poupança se iguala à renda, ou seja, renda = consumo + poupança ou y = c+s naturalmente, temos que a poupança das famílias é dada pela diferença entre a renda e consumo, ou seja, poupança = renda – consumo ou s = y – c como o consumo c é função da renda y, é comum analisar a variação no consumo correspondente à variação da renda; em outras palavras, a taxa de variação do consumo em relação à renda; de modo prático, a derivada do consumo em relação à renda. Tal derivada também é conhecida como Propensão Marginal a Consumir, que mede em quanto aumenta o consumo quando há o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando c=f (y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propensão Marginal a Consumir: cmg=c'(y).

Comparando a poupança s é a função da renda y e é comum analisar a variação na poupança correspondente à variação da renda; em outras palavras, a taxa de variação da poupança em relação à renda; de modo prático, a derivada da poupança em relação à renda. Tal taxa também é conhecida como Propensão Marginal a Poupar, que mede em quanto aumenta a poupança quanto há o aumento de uma unidade na renda. Simbolizando s = f(y), temos algumas maneiras de simbolizar a Propensão Marginal a poupar: smg = s'(y) = .

Vimos que y = c + s e, nessa expressão, derivando em relação a y, temos ou seja, a soma da Propensão Marginal a Consumir com a Propensão Marginal a Poupar resulta em 1: cmg+smg= 1

Como as funções c e s são crescentes, as derivadas indicadas são positivas, assim temos 0 << 1 e 0 < < 1, com ou , ou seja, cmg = 1- smg ou smg =1- cmg (onde 0<cmg<1 e 0<smg< 1)

De um modo geral, costumamos utilizar funções de primeiro grau para expressar as funções do consumo e da poupança.

Aplicações: para uma certa população, a função do consumo é dada por c = 0,7y + 210, onde y é a renda dos consumidores.

Determine a função poupança s.

Determine a Propensão Marginal a Consumir e a Propensão Marginal a Poupar e interprete seus resultados, esboce o gráfico da função c = y poupança e c = y, interpretando o ponto em que o gráfico do consumo encontra a reta c = y.

A função consumo da economia americana de 1929 a 1941 é igual c(y) = 0,712y + 95,05 onde c(y) é a dotação pessoal para o consumo e y é a renda pessoal, ambas medidas em biliões de dólares.

De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. A noção de tangência é importante na vida diária , todos desenvolvemos uma considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal. 

Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo. 

O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à função o nome de função derivada, o cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas.

Passo 2

“A empresa “MAFRA SA” tem função de demanda dada por q=100 – 4p e função custo C(q) = q³ - 30,25q² + 100q + 20. Determine o nível do produto no quais os lucros são maximizados.”

q= 100 – 4p

-4p= q – 100

R= p*q

L= R – C

L= -q3 + 30q2 – 75q – 20

Para encontrar o ponto máximo, ou seja, o momento em que o lucro é maximizado, precisamos derivar a equação obtida e iguala-la a 0 . Para isso vamos dizer que L = f(q):

f(q)= -q3 + 30q2 – 75q – 20

f’(q)= -3q2 + 60q – 75

-3q2 + 60q – 75 = 0

Agora precisamos verificar se os pontos encontrados anteriormente fazem com que f”(x) seja menos que 0.

f’(q)= -3q2 + 60q – 75

f”(q)= -6q + 60

para q = -1,18

f”(q)= -6*(-1,18) + 60 :. f”(q)= 67,08 ou seja, é maior que 0

para q= 21,18

f”(q)= -6*(21,18) + 60 :. f”(q)= -67,08 ou seja, é menor que 0

Assim sendo podemos dizer que q= 21,18 é o ponto de lucro máximo da função.

Passo 3

“Sabe-se que a equação de demanda de um produto é p =-q³ + 12q². Determine a quantidade q e o correspondente preço p que maximiza o faturamento.”

p= f(q)

f(q)= -q³ + 12q²

f’(q)= -3q2 + 24q

f”(q)= -6q + 24

f”(0)= -6*(0)+24 = 24

f”(8)= -6*(8)+24 = -24 (como f”(8) < 0, então devemos considerar que a partir desse valor de q há maximização do faturamento)

p= -q3+12q2

p= -83 + 12*(82)

p= -512 + 768 p= 256

Dessa forma temos que o faturamento é maximizado em q= 8 e p= 256.

Passo 4

“Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma é vendida; quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1° grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de R$ 30,00.”

Se p= 100, logo q=0

Se p=0, logo q=50

p=aq+b

100= a(0) + b b= 100

0= a(50) + b

50a + b = 0

50a + 100 = 0

50a = -100 a= -2

Portanto a equação geral de demanda é dada por:

p= -2q + 100 ou

Para o preço de R$30,00 temos:

Assim sendo, quando a empresa oferece a mercadoria a um preço de R$30,00 a mesma apresentará uma demanda de 35 produtos.

ETAPA 4- Aula-tema: Aplicações das derivadas nas áreas econômicas e administrativa..

Passo 1

“Determinar os intervalos em que a função f(x) = x³– 27x + 60 é crescente e os intervalos em que é decrescente, em seguida façam um esboço de seu gráfico e determine as coordenadas dos pontos extremos locais.”

Primeiramente vamos derivar a função f(x) e iguala-la a 0:

f(x) = x³– 27x + 60

f'(x) = 3*x² - 27 

f'(x) = 3x² - 27 

3x² - 27 = 0 

3x² = 27 

x² = 27/3 

x² = 9 

x = ± 3

Ou seja e ou seja, a função é positiva para x<-3 e para x>3 e é negativa para "x" entre as raízes, ou seja, para: -3<x<3. Assim sendo temos que a função f’(x) é crescente no intervalo: x<-3, ou x>3 e decrescente no intervalo -3<x<3 

Temos x = -3 como ponto máximo, logo vamos calcular o valor de f(-3) para encontrar o par ordenado do ponto máximo.

f(-3) = (-3)³ - 27*(-3) + 60 

f(-3) = - 27 + 81 + 60 

f(-3) = - 27 + 141 

f(-3) = 114

Assim, a função terá ponto máximo em (-3; 114)

Temos x = 3 como um ponto mínimo, assim calculamos f(3) para encontrar par ordenado do ponto mínimo. 

f(3) = 3³ - 27*3 + 60 

f(3) = 27 - 81 + 60 

f(3) = 27 - 21 

f(3) = 6 

Assim, a função terá ponto mínimo em (3; 6). 

Passo 2

“Analisar a seguinte questão: Para um determinado produto, a receita R, em reais, ao se comercializar a quantidade x, em unidades, é dada pela função: R = - 2 x² + 1000 x. Agora resolva as seguintes questões:

Calcule a derivada R´(100). Qual a unidade dessa derivada? O que ela representa numericamente? O que ela representa graficamente?”

R(x)= -2x2 + 1000x

R’(x)= -4x + 1000

R’(100)= -4 (100) + 1000

R’(100)= 1000 – 400 :. R’(100)= 600

A derivada da receita representa a Receita Marginal, ou seja, o valor gasto para a produção de “1 produto a mais”, no caso da questão acima temos que para a produção do 101º produto haverá um gasto de R$600,00. Graficamente se trata da reta tangente ao gráfico da função primária.

“Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja máxima?”

R’(x)= -4x + 1000

-4x + 1000= 0

-4x= -1000

x= 250

Deverão ser comercializados 250 produtos para a obtenção de receita máxima.

“c) Qual a receita máxima correspondente ao item anterior?”

R(x)= -2x2 + 1000x

R(x) = y

y= -2x2 + 1000x

y= -2*(250)2 + 1000*(250)

y= -2*(62500) + 250000

y= -125000 + 250000

y= 125000

Assim sendo a Receita máxima que será obtida com a venda de 250 produtos equivale a R$125.000,00.

Passo 3

“Determinar a taxa de variação da temperatura T, em relação ao tempo, no instante t=10 minutos para seguinte hipótese: A temperatura de um forno varia com o tempo t de acordo com a expressão: T= 0,02t³+0,2t²+110. A temperatura está expressa em graus Celsius e o tempo em minutos.”

T(t)= 0,02t3 + 0,2t2 – 110

T’(t)= 0,06t2 + 0,4t

T’(10)= 0,06*(10)2 + 0,4*(10)

T’(10)= 6 + 4

T’(10)= 10

Assim sendo, temos que no instante t= 10 minutos temos uma variação de temperatura T= 10 graus Celcius (10oC).

Passo 4

“Demonstrar a solução para o problema e em seguida escolher a alternativa correta. “O gráfico da função quadrática definida por y= x²-mx+(m-1), onde m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é”:”

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

Por conceito temos que toda função quadrática possui 2 pontos em comum com o eixo das abscissas, exceto quando ∆ = 0. Assim sendo temos:

:.

:. m= 2

Retomando a equação inicial y = x² – mx + (m – 1) e agora vamos substituir m = 2, e assim vamos obter a lei da função

y = x² – 2x + (2 – 1)

y = x² – 2x +1

Temos no enunciado que x = 2, e a partir dele vamos determinar o valor de y

y = 2² – 2*( 2) + 1

y = 4 – 4 + 1

y = 1

Por fim, temos que a equação possui a lei de formação y = x² – 2x +1. E quando x = 2, o valor de y se torna igual a 1, ou seja, a resposta correta é a letra “d”.

Considerações finais

Após a realização das atividades solicitadas foi possível ter noção da grande importância do uso das derivadas no contexto administrativo empresarial a fim de resolver com praticidade e eficiência as necessidades da organização, bem como nos permitiu por em prática de forma abrangente o conteúdo aprendido na disciplina.

Referências Bibliográficas

www.mundoeducacao.com/matematica

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 2ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

HUGHES-HALLETT, Deborah. Matemática Aplicada. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC,

2008.