Aula De Mantissa

Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em máquinas digitais.

Representação dos números no formato “ponto flutuante” e sua aritmética.

A representação de números reais mais utilizada em máquinas é a do ponto flutuante . Esse número tem três partes: o sinal, a parte fracionária (mantissa) e o expoente,

m = ± ,d1d2d3... dt × βe

sendo

di´s : dígitos da parte fracionária, d1 ≠ 0, 0 ≤ di ≤ β-1

β: base (em geral 2, 10 ou 16),

t: nº de dígitos na mantissa.

e: expoente inteiro.

Para o exemplo anterior temos que o número de elementos é 17. (8 positivos, 8 negativos e o zero).

O conjunto dos números de ponto flutuante é discreto, e não contínuo como os números reais. Não temos mais o conceito que entre dois números sempre existe um outro. Esse fato pode ter conseqüência desastrosa!

5.2 - Erros na representação dos números

O conjunto de números de números reais é infinito, entretanto, a sua representação em um sistema de ponto flutuante é limitada, pois é um sistema finito. Essa limitação tem duas origens:

A) a faixa dos expoentes é limitada ( min max e ≤ e ≤ e );

B) a mantissa representa um número finito de números (β t−1 ≤ m ≤ β t−1 )

Faixa dos expoentes é limitada ( min max e ≤ e ≤ e );

Sempre que uma operação aritmética produz um número com expoente superior ao expoente máximo, tem-se o fenômeno de “overflow”. De forma similar, operações que resultem em expoente inferior ao expoente mínimo tem-se o fenômeno de “underflow”.

No caso do exemplo dado, pode-se observar qual as regiões que ocorrem o overflow e o underflow.

Neste caso, considera-se a parte positiva e negativa da aritmética do exemplo.

Ex1: Considere uma aritmética de ponto flutuante F(10,2,-5,5)

-overflow: Sejam x =875 e y=3172 . Calcular x × y.

Primeiro, deve-se arredondar os números e armazená-los no formato indicado. A operação de multiplicação é efetuada usando 2t dígitos.

x = 0.88x 10 3 e y =0 .32 x 104, x×y = 0.2816 x 107

Como o expoente é maior que 5, resulta em overflow

-underflow: Sejam x =0,0064 e y=7312 Calcular x ÷ y.

Primeiro, deve-se arredondar os números e armazená-los no formato indicado. A operação de divisão é efetuada usando 2t dígitos.

x = 0.64x 10-2 e y = 0.73 x 104, x÷y = 0.8767 x 10-6

O resultado dessa operação resultou em um valor menor que o computador pode armazenar, ou seja, resulta em underflow

Mantissa representando um número finito de números (βt−1 ≤ m ≤ βt−1 )

Ex1. Seja uma máquina que opere com apenas 6 dígitos na mantissa, ou seja, que seja capaz de armazenar números no formato m = ± 0,d1d2d3d4d5d6 x 10e. Como armazenaríamos número

(0,11)10 = (0,000111000010100011110101110000101000111101............)2

nesta maquina?

Como o número (0,11)10 que não tem representação binária finita, teremos neste caso:

(0,11)10 → (0,000111)2 → (0,109375)10

Ex2.