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Segundo pesquisa na internet: o cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Também que a integral indefinida pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Enquanto a integral definida, inicialmente definida como soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

O "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss).

Referente a área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Fonte: Wikipédia

História da Integral:

A história mostra que o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolvendo o problema de medição da área de uma região bidimensional. Para muitos matemáticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados. Historicamente, existem inúmeras contribuições dos matemáticos no cálculo, tais como:

- Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) quem executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas.

- Antiphon (cerca de 430 A.C.) afirmava que poderia "quadrar o círculo" ou encontrar sua área, usando uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos.

- Eudoxo (cerca de 370 A.C.) usou um método chamado de exaustão.

- Arquimedes (287--212 A.C.), conhecido como o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência. Seu mais famoso trabalho de todos, foi um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade.

Outros matemáticos surgiram, depois de Arquimedes,