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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Vocês com certeza já tiveram a oportunidade de estudar no Cálculo I um dos conceitos mais fascinantes e importantes da matemática, a derivada das funções de uma variável. Já conhecem as funções elementares de uma variável real, suas propriedades e aplicações, que aparecem freqüentemente no cálculo, e os aspectos relacionados a essas funções como: domínio, imagem, gráficos, limite, derivada e integral.

Acontece que funções de uma única variável não aparecem com tanta freqüência em ciência, como as funções com duas ou mais variáveis independentes.

Os estudos sobre Cálculo de Funções de Várias Variáveis propostos nesta disciplina vão ajudar vocês a compreender as funções de duas e três variáveis reais e a refletir sobre as suas propriedades e aplicações.

Além disso, terão a oportunidade de entender e aprender como esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis reais, através do conceito de gráfico de função e também através das curvas de níveis.

Para mencionar alguns exemplos dessas funções, podemos citar a eletricidade, dinâmica dos fluídos, estatística, volume, temperatura de um ponto da superfície da terra, etc.

Vocês vão perceber que as regras básicas do cálculo para funções de uma variável continuam as mesmas em dimensões maiores com pequenas mudanças.

Exemplos:

1. (Volume de um Cilindro);

2. (Velocidade do som em um gás ideal);

3. (Volume de um paralelepípedo);

4. (Equação de estado de um gás ideal)

Uma função real de duas variáveis reais é uma correspondência que, a cada par ordenado de um subconjunto D de , associa um único número real , indicado por .

D: Domínio da Função;

: Variáveis Independentes;

: Variável Dependente

Notação:

Exemplos:

1. Dada a função , determine a imagem dos pares ordenados:

a) b) c) d)

DOMÍNIO E IMAGEM

Domínio (D) de uma função de duas variáveis é o conjunto dos números reais onde a função está definida.

Imagem (Im) de uma função de duas variáveis é o conjunto de valores possíveis de , ou seja, .

Observação: Se a função é dada por sua fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido como domínio de o conjunto de todos os pares de valores para os quais a expressão dada fornece um número real bem-definido.

Como determinar o domínio de uma função de duas variáveis?

Exemplo 1: Determinar o domínio das seguintes funções e calcular .

a) b)

Exemplo 2: Determinar