O Nome Da Rosa

RESOLUÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS DE EUCLIDIANA I

joao luca marques barbosa ...livro verde e amarelo

CAPÍTULO 4

4- (pág. 52)

Se α ≡ β é porque seus suplementos são congruentes logo,

CAB ≡ CBA ( CAB e CBA são ângulos).

Temos então, que o triângulo ABC possui dois ângulos congruentes, e pela definição de triângulo isósceles se um triângulo possui dois ângulos congruentes é porque ele é isósceles. E um triângulo é dito isósceles se tem dois lados congruentes ( laterais do triângulo) e um terceiro lado sendo a base. Como os ângulos congruentes estão adjacentes ao lado AB, então o lado AB é a base e portanto AC e BC são as laterais.

Segue que , AC = BC.

7- ( pág.52)

HIPÓTESE: BD ≡ DC

TESE: AB ≡ AC

Seja um triângulo ABC. Dado um ponto D sobre o segmento BC tal que AD seja perpendicular a BC. Além disso D é o ponto médio de BC pois, BD ≡ DC (hipótese). Temos agora dois triângulos o ADB e ADC

Como AD é perpendicular a BC, temos que:

ADB ≡ ADC = 90º ( ADB e ADC são ângulos)

E ainda AD é o lado comum dos triângulos ADB e ADC. Logo,

∆ADB ≡ ∆ADC pois,

BD ≡ DC (hipótese), ângulos ADB ≡ ADC (90º) e AD (lado comum), isto se prova pelo caso de congruência LAL. Como os triângulos são congruentes conseguimos garantir a congruência dos outros ângulos e lados.

E portanto, ângulos BAD ≡ CDA, ABD ≡ ACD e por fim AB ≡ AC.

9- (pág.53)

Seja ∆ABC e ∆ABD. É dado que AC ≡ AD e que AB é a bissetriz do ângulo CAD. Sendo assim,

CAB ≡ BAD ( CAB e BAD são ângulos).

Ainda o lado AB é comum aos triângulos ABC e ABD. Então pelo caso de congruência LAL os triângulos são congruentes pois,

AC ≡ AD (hipótese), AB (lado comum) e ângulos CAB ≡ BAD. Logo ∆ACB ≡ ∆ABD.

13- (pág.53)

Seja os segmentos DE e BC que se interceptam num ponto A, e ainda que este ponto A é também ponto médio destes segmentos. Então BA ≡ AC e EA ≡ AD. Ainda ∆ABD e ∆ACE possuem ângulos DAB congruente a ângulo CAD ( DAB ≡ CAE) , pois são opostos pelo vértice. Assim ∆ABD ≡ ∆ACE pelo caso de congruência LAL, pois BA ≡ AC, ângulos DAB ≡ CAE e EA ≡ AD, donde garantimos a congruência do outro lado e dos outros dois ângulos.

PROBLEMAS

4- (pág.56)

Seja os triângulos ABD e BCD isósceles com base DB. Se o ∆ABD é isósceles então pela definição AB ≡ AD e BD é base (hipótese). E ainda