Surgimento da Geometria de Coordenadas

GEOMETRIA DE COORDENADAS

        

Luiz Henrique Almeida Maciel

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Felipe José Olinto de Albuquerque

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Cleyson Santos Araújo

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Resumo:

Analisando a linha histórica sobre o devido tema, buscamos neste artigo compreender como a geometria de coordenadas foi transformada através do tempo, partindo de seu modelo inicial e entendendo como é sua estrutura nos tempos atuais, além de analisar as contribuições de estudiosos para o surgimento desta, dos quais se destacam os nomes Pierre de Fermat e René Descartes. A partir disso, buscamos também evidenciar os avanços científicos e tecnológicos que surgiram graças ao desenvolvimento de tal aplicação, advinda de uma relação entre a álgebra e a geometria.

Palavras-chave: Geometria de coordenadas; Geometria analítica; História da matemática;

1. Introdução

Existem diversas áreas de conhecimento, e para facilitar seu estudo, é comum dividir o conhecimento em áreas menores, ou sub áreas de forma que se torne mais fácil pesquisar e desenvolver sobre a ciência, contudo, existem casos onde se faz necessário unir duas ou mais sub áreas para que se possa existir avanço científico, a geometria de coordenadas pertence a este grupo, como uma relação entre a álgebra e a geometria. Busca-se, portanto, em um momento inicial, compreender possíveis motivações para a descoberta dessa área.

1. Analisando o passado

        Para falarmos do surgimento de uma geometria, bem como de qualquer outra área, devemos entender a motivação para essa descoberta, para isso, analisemos os primórdios, quando as pessoas passam a se agrupar e formar comunidades. A falta de um sistema de escrita levou o homem a fazer uso de formas geométricas que compunham desenhos para representar suas experiências e conhecimentos adquiridos acerca da região e dos animais que ali viviam.

        A origem da geometria frequentemente remete ao Egito, impulsionada pela necessidade de calcular as áreas das terras dos agricultores, bem como saber remarcá-las, devido as frequentes cheias do rio Nilo. Acredita-se ainda, segundo Aristóteles, que a existência de uma classe sacerdotal capaz de desfrutar de lazer poder ter possibilitado o pensamento para tal área da ciência.

        Assim, podemos perceber que o desenvolvimento de algo novo surge com a necessidade de um povo, seja uma necessidade real, como o Egito, ou uma necessidade intelectual, buscando apenas desenvolver algo novo.

1. O surgimento da geometria de coordenadas

        Não há como precisar uma data para sua criação, nem um criador, pois vários foram os responsáveis, ou contribuíram diretamente ou indiretamente, para que esta geometria se formasse, contudo, dois grandes matemáticos possuem grande relevância nessa área, e estes são Pierre de Fermat e René Descartes.

Pierre de Fermat, advogado e oficial do governo de Toulouse, possuía a matemática como uma diversão para seus momentos livres. Apesar de ser reconhecido por seus trabalhos em teoria dos números, Fermat propôs um sistema que associava a geometria e a álgebra, baseando-se numa reconstrução do trabalho de Apolônio sobre as cônicas, utilizando-se também da álgebra de François Viète, que introduziu a primeira notação algébrica sistematizada. Tomando por base esses dois personagens, Fermat desenvolve um sistema de geometria de coordenadas semelhante ao que René Descartes proporia um tempo depois, ainda que as pesquisas deste tenham ocorrido de forma independente as pesquisas de Fermat.

Usando o termo lugar geométrico, que surgiu na busca dos pontos do plano que satisfaziam condições específicas, Fermat construía sua geometria. Como exemplo, podemos citar que o lugar geométrico de todos os pontos cuja distância de cada um a outros dois pontos fixos sempre somem o mesmo valor é a elipse. Assim, Fermat notou que se tais condições impostas puderem ser expressas numa equação envolvendo duas incógnitas, a correspondência geométrica seria uma curva. Em seu trabalho sobre tangentes e quadraturas, Fermat definiu outras curvas analiticamente.

René Descartes, considerado o pai da filosofia moderna, acreditava que a matemática era a linguagem da natureza, pois somente a matemática poderia demonstrar aquilo que afirma. Apesar de ser conhecida como cartesiana, a geometria de coordenadas atual é bem diferente da geometria cartesiana, criada por Descartes. Descartes buscava, por meio de processos algébricos, libertar a geometria de recursos que exigiam e cansavam a imaginação, enquanto dava significado às operações algébricas, que eram confusas e obscuras, já que não se via as equações algébricas como funções associadas a um gráfico. Descartes afirmava que as deduções lógicas que permitem passar de uma proposição a outra deveriam ser substituídas por relações entre coisas quantificáveis, traduzidas por equações (igualdades entre quantidades) (Roque, 2012, p.316). Assim, compreende-se que os objetos geométricos poderiam ser entendidos como úteis para a resolução de problemas práticos da álgebra.

O estudo das curvas nos trabalhos de Descartes e Fermat mostram como a crença na relevância da técnica leva a um novo tipo de geometria, que deveria estudar figuras usando proporções.

Os problemas geométricos traduzidos em álgebra tinham por objetivo a compreensão das relações entre as grandezas dos problemas:

[...] O objetivo de Descartes era utilizar na geometria, para resolver problemas de construção, uma espécie de aritmética, em que regras simples de composição levassem de objetos simples a outros mais complexos. O método começa por exibir objetos mais simples de todos, as retas, e as relações simples que os relacionam, as operações aritméticas (ROQUE, 2012, p. 322).

É notório que Descartes é apresentado como criador da geometria analítica pela esmagadora maioria dos livros didáticos, por causa do plano cartesiano. Muitos afirmam que somente após os trabalhos de René Descartes e Pierre de Fermat que a geometria de coordenadas ganhou forma para chegar à que hoje conhecemos.

É inegável que a utilização de um sistema de coordenadas foi imprescindível para a criação da geometria analítica, no entanto, Descartes não fazia uso de um sistema de eixos perpendiculares, escolhendo o sistema de eixos que lhe fosse mais conveniente.