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Volume de sólidos da revolução

Seminário: Volume de sólidos da revolução. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicos

Por:   •  1/12/2013  •  Seminário  •  1.264 Palavras (6 Páginas)  •  336 Visualizações

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8.2- Volume de Sólidos de Revolução

Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido:

a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito

de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada.

Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)

8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco

Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira:

Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R.

Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução.

Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:

R

l

Área plana 1

S

l

Sólido gerado pela Rotação.

a b x

y = f(x)

Área plana 2

r=f(x)=y

dV = πr2 dx

dV = π[f(x)]2 dx

V = π∫ b

a

[f (x)]2 dx

y

Cálculo do elemento de volume

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I

Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

142

Exercícios

1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a

função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

V=π

1

2

7

x

[ f ( x )] dx [ x ] dx x dx

2 7

1

6

2

1

3 2

2

1

∫ 2 =π ∫ =π ∫ =π = 

 

7

1

7

27 7

π = π

7

127

=18,143π=56,99(unid vol)

2) Achar o volume gerado pela função f(x) = a 2 − x2 em [-a, a]

V = π

a

a

3

x

[ f ( x )] dx [ a x ] dx [ a x ]dx a x

3

2

2

1

2 2

a

a

2 2 2

a

a

2

− 

 

∫ = ∫ − = ∫ − = −

− −

π π π

= π



 



 

 

 

− − +

 

 

3

a

a

3

a

a

3

3

3

3 = π



 



 

− + −

3

a

a

3

a

a

3

3

3

3 = π



 



 

3

2a

2a

...

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