A TEORIA DE D'ALEMBERT

TEOREMA DE D’ALEMBERT

O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x=a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.

DIVIDENDO DIVISOR RESTO

P(x) x-c P(c)

P(x) x + c P (- c)

P(x) ax – b P(b/a)

P(x) ax + b P( - b/a)

Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x-a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

P(x) x – a R = P(a)

P(x)=3x4 - 2x³ - x²+2x – 2 x – 1

P(1)=3.14 – 2.1³ - 1² + 2.1 – 2 x – 1 = 0

P(1)=3.1 – 2.1 – 1 + 2.1 – 2 x = 1

P(1)=3 – 2 – 1 + 2 – 2

P(1)=0

Nota-se que polinômio de P(x) deu igual a 0, então ela é divisível pelo x – 1.

Exemplos:

1. O resto de P(x)=x³ + 3x² - x – 3 por x + 3 é:

X + 3 = 0

X = - 3

P(3) = (- 3)³ + 3.(- 3)² - (- 3) -3

P(3) = -27 + 27 +3 -3

P(3) = 0 R = P(-3) = 0

2. O resto da divisão P(x) = 8x³ + 2x + 1 por 2x – 1 é:

2x-1=0

2x=1

X =1/2