ATPS De Cálculo

Etapa 1

Passo1

Velocidade instantânea a partir do limite

A velocidade instantânea é definida como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante:

v = lim∆t→0 ∆x∆t = dxdt

Esta equação mostra duas características da velocidade instantânea v. Primeiro v é a taxa na qual a posição da partícula x está em relação à t. Segundo, v em qualquer instante é a inclinação da curva (ou coeficiente angular da reta tangente á curva).

Em cálculo a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias quando o intervalo diminui de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos então, velocidade instantânea = Limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite, da seguinte maneira:

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida como:

Velocidade instantânea em t = a = lim h→0 sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.

As equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesma lógica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

Exemplo: x = 8t² - 2t no tempo em 1 segundo.

v= dxdt 8t2-2t

Derivando posição em relação ao tempo: v = 2.8.t¹ - 1.2 → v = 16t-2

Aplicando no tempo igual a 1 segundo: v = 16.1-2 → v = 14 m/s

Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dvdt 16t-2 → a= 16.1t1-1 → a=16

A aceleração não varia em nenhum instante.

Passo 2

Funções: S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s).

0 x = 8t²-2t → x = 8.0²-2.0 → x = 8.0-0 → x = 0 0

1 x = 8t²-2t → x = 8.1²-2.1 → x = 8.1-2 → x = 6 6

2 x = 8t²-2t → 8.2²-2.2 → x = 8.4-2.2 → x = 28 28

3 x = 8t²-2t → x = 8.3²-2.3 → x = 8.9-6 → x= 66 66

4 x = 8t²-2t → x = 8.4²-2.4 → x = 8.16-8 → x = 120 120

5 x = 8t²-2t → x = 8.5²-2.5 → x = 8.25-10 → x= 190 190

Passo 3

Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se que a partícula sofre aceleração, para sabemos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relação ao tempo sendo: a= dvdt, pois a aceleração da partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) naquele ponto. Em palavras, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é dada pela derivada segunda de sua posição x(t) em relação ao tempo a= dxdt= ddt dxdt= d²xdt².

Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dvdt 16t-2 → a= 16.1t1-1 → a=16

Passo 4

0 x = 16t-2 → x = 16.0-2 → x = 0-2 = -2 -2

1 x = 16t-2 → x = 16.1-2 → x = 16-2 = 14 14

2 x = 16t-2 → x = 16.2-2 → x = 32-2 = 30 30

3 x = 16t-2 → x = 16.3-2 → x = 48-2 = 46 46

4 x = 16t-2 → x = 16.4-2 → x = 64-2 = 62 62

5 x = 16t-2 → x = 16.5-2 → x = 80-2 = 78 78

ETAPA 2

Passo1

Constante de Euler

O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas.

Euller nasceu em Basiléia, filho do pastor calvinista Paul Euler e de Marguerite Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas: Anna Maria e Maria Magdalena.

Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Desprezando seu prodigioso talento matemático, determinou que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da família Bernoulli, e Johann Bernoulli - que foi um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente uma influência no pequeno Euler.

A sua instrução formal adiantada começou na terra natal para onde foi mandado viver com a sua avó materna. Aos 14 anos matricula-se na Universidade da Basiléia, e em 1723, recebe o grau