Anhanguera - Contabilidade Intermediaria

ETAPA 3 - PASSO 1

Função Potência

Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada Função Potência. São exemplos de funções potências:

y = x2

y = x3

y = x4

e assim por diante.

O domínio de y = x n é o conjunto dos reais, porque sempre podemos calcular x n, independente do valor de "x".

Vamos analizá-la observando o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par:

• Para "x" positivo, o crescimento da função é cada vez mais rápido: para "x" no intervalo [1,2] temos "y" no intervalo [1,4]; para "x" no intervalo [2,3] temos "y" no intervalo [4,9]; para "x" no intervalo [3,4] temos "y" no intervalo [9,16]; e assim por diante;

•

• Para "x" negativo, conforme "x" aumenta, isto é, aproxima-se de zero, a função decresce cada vez mais devagar: para "x" no intervalo [-4,-3] temos "y" no intervalo [16,9]; para "x" no intervalo [-3,-2] temos "y" no intervalo [9,4]; para "x" no intervalo [-2,-1] temos "y" no intervalo [4,1]; e assim por diante.

Observe que o gráfico para "x" negativo é uma reflexão do gráfico para "x" positivo.

Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo.

Vamos agora analisar o gráfico abaixo, onde aparece a função y = x n para diferentes valores de "n", e compará-las:

• Para "x" positivo, quanto maior o valor de "n", mais rápido cresce a função.

• E para "x" negativo, como se comporta a função?

Observe o intervalo [0,1] com atenção. A função de maior grau cresce mais devagar que a de menor grau. Vamos ver porque isso acontece, tomando como exemplo os pontos do gráfico com x = 1/2:

• Para a função y = x2, se x = 1/2, y é igual a 1/4;

• Para a função y = x3, se x = 1/2, y é igual a 1/8;

• Para a função y = x4, se x = 1/2, y é igual a 1/16;

• Para a função y = x5, se x = 1/2, y é igual a 1/32.

Enfim, estamos aumentando o grau da função e, para um mesmo valor de "x", obtemos um valor de "y" cada vez menor.

Função Polinomial

Toda função na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domínio da função e y: imagem.

O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os monômios que o formam. Veja:

g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4.

f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6.

h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3.

Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], construindo o par ordenado (x,y) usado nas representações gráficas no plano cartesiano. Observe:

Dada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os pares ordenados quando:

x = 0

p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1

p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1

p(0) = 0 + 0 – 0 + 1

p(0) = 1

par ordenado (0,1)

x = 1

p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1

p(1) = 2 + 2 – 5 + 1

p(1) = 0

par ordenado (1,0)

x = 2

p(2) = 2*23 + 2*22 – 5*2 + 1

p(2) = 2*8 + 2*4 – 10 + 1

p(2) = 16 + 8 – 10 + 1

p(2) = 15

par ordenado (2,15)

Funções Racionais

Os polinómios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinómios. No entanto, se dividirmos polinómios nem sempre obteremos outro polinómio. Esse quociente é chamado função racional, isto é, uma função racional f(x) é do tipo

f(x) = n(x) / d(x), onde n(x) e d(x) são polinómios. Se o denominador d(x) fôr uma constante não nula, esse quociente será ele próprio um polinómio. Assim, os polinómios estão incluídos entre as funções racionais.

Evidentemente, nos pontos onde d(x) = 0 a função f não está definida e, portanto, o maior domínio possível de uma função racional é constituído pelo conjunto dos números reais exceptuando-se esses pontos. Os zeros de d(x) são chamados pólos ou pontos singulares da função f .

Como os polinómios, as funções racionais apresentam um comportamento característico quando x cresce em valor absoluto. Além disso é importante, também, estudar o comportamento dessas funções em torno dos seus pontos singulares pois, em redor desses pontos, podem ocorrer mudanças bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. São esses pontos ainda, que dão origem às assíntotas verticais do gráfico de uma função, caso essas assíntotas existam.

O objectivo desta secção é estudar o comportamento de uma função racional em torno dos seus pontos singulares e também o seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador é menor, igual e maior que o grau do denominador.

De um modo geral se o grau do numerador fôr maior ou igual ao grau do denominador, podemos escrever n(x) = d(x) q(x) + r(x) onde o grau de r(x) é menor que o grau de d(x), o que nos dá :

f(x) = q(x)