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INTRODUÇÃO

O presente trabalho apresenta a construção de um caderno para consulta, contendo desde teoria dos tópicos da disciplina até exercícios resolvidos, aplicando-se conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia.

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Etapa 3

Calculo de Área.

Os dois conceitos principais do cálculo são desenvolvidos a partir de idéias geométricas relativas a curvas. A derivada provém da construção das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos próximos capítulos, a integral, tem origem no cálculo de área de uma região curva. Como vimos no início deste livro, o problema de calcular áreas já despertava, por suas aplicações práticas, grande interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de várias fórmulas para o cálculo de áreas de figuras planas serem conhecidas desde esta época, e até mesmo problemas do cálculo de áreas de regiões limitadas por segmentos de retas e algumas curvas, como a parábola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, até o século XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral como uma teoria matemática digna de crédito, não se conhecia nenhuma fórmula ou método geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer.

Nos meados do século XVII, vários estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus trabalhos o método da exaustão, empregado por Arquimedes no cálculo de áreas de segmentos parabólicos (veja o projeto Arquimedes e a Quadratura da Parábola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este método estava relacionado com o Cálculo Diferencial. Este importante resultado e denominado teorema fundamental do calculo e é um dos resultados mais importantes de toda a matemática. Como vimos, a derivada tem aplicações que transcendem a sua origem geométrica. Nos próximos capítulos, veremos que o mesmo acontece com a integral.

A fim de tornar clara a discussão sobre áreas vai introduzir na próxima seção uma notação matemática padrão usada para abreviar somas que envolvem um número muito grande de parcelas.

3.1. Historia de calculo de área: Passo 1

Parece que o primeiro a calcular a área exata de uma figura limitada por curvas foi Hipocrates de Chios, o mais famoso matemático grego do século V A.C.. Ele calculou a área da figura em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta figura, construída por dois círculos (o círculo centrado em (0, 0) e raio unitário e o círculo centrado em (0, −1) e passando pelos pontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lúnula de Hipocrates, em homenagem aquele que descobriu que a sua área é igual à área do quadrado cujo lado é o raio do círculo. –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 x. O problema da quadratura de um círculo, isto é, de achar um quadrado de área equivalente a de um círculo de raio dado, é um dos problemas clássicos da Geometria a que muitos matemáticos dedicaram atenção, desde a Antiguidade. Hipocrates “quadrou a lúnula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do círculo.

Os geômetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema é construir a sua solução utilizando somente uma régua não graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do círculo é impossível de resolver utilizando-se apenas régua e compasso. A primeira vista parece que o problema de calcular áreas é um assunto de interesse apenas para geômetras, sem aplicações na vida prática fora da Matemática. Isto não é verdade. No transcorrer dos próximos capítulos, veremos que muitos conceitos importantes de Física, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a força total que age sobre uma barragem em virtude da pressão de água no reservatório, por exemplo, dependem das mesmas idéias utilizadas neste capítulo para o cálculo de áreas.

O calculo de áreas como limites

Em geral, a definição formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes dificuldades ao tentarmos formalizar uma definição para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A formalização do conceito de área apresenta dificuldades semelhantes. Em geometria elementar, são deduzidas fórmulas para áreas de muitas figuras planas, mas se pararmos para pensar um pouco chegará à conclusão de que uma definição, matematicamente aceitável de área, raramente nos é fornecida. A área de uma região é definida, às vezes, como o número de quadrados de lados de comprimento um que “cabem” numa dada região. Desse modo, obtivemos fórmulas para áreas de figuras planas tais como quadrados, retângulos, triângulos, trapézios, etc. Basta, no entanto que a região seja um pouco mais complicada para que esta definição se mostre inadequada. Como poderíamos calcular, por exemplo, o número de quadrados, que cabem em um círculo unitário?

Tentaremos definir áreas de regiões com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se concentrará num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a área de uma região limitada pelo gráfico de uma função y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura para a função y = x 2.

Calculo de áreas e Integrais Definidas.

A soma das áreas dos retângulos assim construídos converge para o mesmo limite anterior, como mostramos a seguir. Considere a soma, SM, das áreas dos retângulos cujas alturas são o valor da função f, calculada no ponto médio de cada subintervalo [xi−1, xi], isto é, no ponto 1 + i ∆ x 2. Com a ajuda do Maple, obtemos.

(Para provar a fórmula acima veja o projeto O Maple e o principio da indução matemática.)

Destes cálculos, podemos concluir que, à medida que n aumenta, quaisquer das somas acima tende a um mesmo número, que será o valor da área da região considerada. Note que a partição do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade de que à medida que n cresce o valor de ∆ x tende a zero. Esta propriedade é fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a área da região. Considere, por exemplo, a seguinte partição em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1, 2 ]:

Observe que, neste caso, mesmo considerando valores de n cada vez maiores,