EDO Lista Resolvida

1. Determine os valores de C1 e C2 de modo que as fun¸c˜oes dadas satisfa¸cam as condi¸c˜oes

iniciais dadas.

a) y (x) = C1ex + C2e−x + 4 sen x; y (0) = 1, y′ (0) = −1.

SOLUC¸ ˜AO: Temos que

y′ (x) = C1ex − C2e−x + 4 cos x

e que

y (0) = C1 + C2 e y′ (0) = C1 − C2 + 4.

Assim,

 y (0) = 1

y′ (0) = −1 ,  C1 + C2 = 1

C1 − C2 + 4 = −1 ,  C1 + C2 = 1

C1 − C2 = −5 ,

C1 = −2

C2 = 3

e, portanto, y (x) = −2ex + 3e−x + 4 sen x.

b) y (x) = C1x + C2 + x2 − 1, y (1) = 1, y′ (1) = 2.

SOLUC¸ ˜AO: Temos que

y′ (x) = C1 + 2x

e que

y (1) = C1 + C2 e y′ (1) = C1 + 2.

Assim,

 y (1) = 1

y′ (1) = 2 ,  C1 + C2 = 1

C1 + 2 = 2 ,

C1 = 0

C2 = 1

e, portanto, y (x) = x2.

2. Escreva a equa¸c˜ao diferencial na forma normal.

a) xy′ + y2 = 0

SOLUC¸ ˜AO: Temos que

xy′ + y2 = 0 , xy′ = −y2 , y′ = −

y2

x

.

b) exy′ − x = y′

SOLUC¸ ˜AO: Temos que

exy′ − x = y′ , exy′ − y

′

= x , (ex − 1) y′ = x , y′ =

x

ex − 1

.

c) (y′)3 + y2 + y = sen x

SOLUC¸ ˜AO: Temos que

(y′)3 + y2 + y = sen x , (y′)3 = sen x − y2 − y , y′ = 3psen x − y2 − y.

1

d) (e2x − y) dx + ex dy = 0

SOLUC¸ ˜AO: A equa¸c˜ao acima pode ser reescrita sob a forma