Equações - Atps

INTRODUÇÃO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'',..., y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

DEFINIÇÃO

Uma equação diferencial é uma equação com uma série de funções derivadas de uma mesma função começando pela a de maior ordem, ou seja, conjuntos de derivadas pertencentes ao uma função desconhecida da variável.

CLASSIFICAÇÃO

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

Uma EDO linear de primeira ordem tem o seguinte formato:

Y’ + P(x)y = Q(x)

Chamaremos a forma acima de “forma padrão” da equação (o Q(x) é uma expressão na qual o símbolo y não aparece). Quando vamos resolver uma EDO desta natureza, devemos identificar quem é P(x), em seguida determinar o chamado “fator integrante” que indicaremos por I(x) e é dado por:

I(x) = e∫ P(x)dx

Exemplo:

Equação:

y’ = x + 5y

Descrevendo para forma padrão:

y’ – 5y = x

y’ + (-5)y = x

Identifique a função P:

P(x) = -5

Calcule a integral de P(x):

∫ P(x)dx = ∫ -5xdx = -5x

Determine o fator integrante:

I(x) = e∫ P(x)dx = e -5x

Multiplique ambos os lados da equação pelo fator integrante e reescreva a igualdade:

(y’ + (-5)y)e- 5x = xe-5x

(y’ – 5y)e-5x = xe-5x

y’e-5x – 5ye-5x = xe-5x

y’e-5x + y(-5e-ex) = xe-5x

Use a regra do produto “de trás para frente” no lado esquerdo para obter:

d [ye-5x] = xe-5x

dx

observação: conforme a regra do produto que diz:

d [uv] = u’v + uv’

dx

quando estamos resolvendo EDO’s lineares de primeira ordem, geralmente utilizamos esta igualdade lendo-a da direita para esquerda, ou seja, usamos:

u’v + uv’ = d [uv]

dx

no caso acima, u = y e v = e-5x

Prosseguindo com a solução, integre ambos os lados da expressão:

∫ d [ye-5x]dx = ∫xe-5x

dx

No primeiro membro sobrará apenas a função em virtude de