História Das Funções De Varias Variáveis

Introdução

O conceito de função, presente nos mais diversos ramos da ciência, teve sua origem na tentativa de filósofos e cientistas em compreender a realidade e encontrar métodos que permitissem estudar e descrever os fenômenos naturais. Segundo Caraça (1989), esta realidade apresenta duas características fundamentais: a interdependência, que faz com que todas as coisas estejam relacionadas umas com as outras e a fluência, que faz com que tudo no mundo esteja em permanente mudança. Como estudar variações de quantidade num mundo constituído de partes que dependem umas das outras e que mudam a cada instante? Veremos a seguir que o conceito de função levou muito tempo para ser aperfeiçoado e que, apesar de ter sido explicitado apenas a partir do século XVIII, em algumas ideias anteriores já aparece de forma implícita. Buscaremos identificar as diversas interpretações/representações que estiveram presentes na criação e no desenvolvimento do conceito, o que servirá como base para as nossas reflexões sobre o modo como estas representações têm participado do ensino das funções.

História das Funções de Várias Variáveis

Durante o século 16, matemáticos estavam desenvolvendo uma nova matemática para resolver problemas em ciências físicas. Como o mundo físico é multidimensional (isto é, três dimensões espaciais e o tempo), muitas das quantidades usadas nestes modelos aplicados eram de várias variáveis. Astronomia era uma área da ciência que era rica neste tipo de matemática de várias variáveis. Por isso, o cenário estava sendo montado por astrônomos e matemáticos para o desenvolvimento de funções de várias variáveis e, finalmente, para o cálculo de várias variáveis. Galileu (1564-1642) tentou aplicar a matemática ao seu trabalho em astronomia, cinemática e resistência dos materiais. Pelo seu trabalho nestas áreas, é frequentemente chamado de fundador da mecânica e física moderna. O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571-1630) contribuiu grandemente através do desenvolvimento das suas três leis do movimento planetário. Estes resultados mudaram a astronomia e desempenharam um papel crucial no desenvolvimento da física newtoniana e do cálculo. Seu trabalho ajudou a desacreditar o modelo geocêntrico de Ptolomeu e ajudou a estabelecer a teoria heliocêntrica de Copérnico. Também montou o cenário para o surgimento da matemática aplicada em várias variáveis.

Depois do desenvolvimento do cálculo de uma variável no século 17, sua aplicação para resolver problemas em um mundo multidimensional resultou na necessidade de generalização para incluir funções de mais de uma variável e cálculo de várias variáveis. O que seriam os análogos da derivada e da integral para funções de mais de uma variável? Jean d'Alembert (1717--1783) desenvolveu e usou o cálculo de várias variáveis para lidar com métodos para resolver equações diferenciais e movimento de corpos considerando a resistência do meio. De várias maneira, usou os trabalhos de Newton, L'Hospital e dos Bernoullis para estender os conceitos de cálculo para várias variáveis. D'Alembert pesquisou nesta área e publicou muitos trabalhos em matemática e física matemática. Seu trabalho principal foi o Traité de dynamique (1743), o qual ajudou a fazer com que a diferenciação parcial fizesse parte do cálculo.

Próximo na linha de refinamento e uso do cálculo de várias variáveis foi Joseph Louis Lagrange (1736--1813). Este aplicou seu conhecimento de cálculo à mecânica. Foi muito produtivo nesta área aplicada da matemática. Seus principais trabalhos foram sobre as equações de movimento e no entendimento da energia potencial. Lagrange também foi o primeiro a desenvolver os métodos de hoje para encontrar máximos e mínimos usando cálculo. Seu trabalho em otimização em várias variáveis resultou na técnica que agora chamamos de multiplicadores de Lagrange. Ele tinha apenas 19 anos quando inventou estes métodos e até muito mais tarde em sua vida ainda os considerava como seu melhor trabalho em matemática. Publicou Mécanique analytique (1787), no qual aplicou cálculo de várias variáveis ao movimento e às propriedades de objetos no espaço. Colega de Lagrange, o astrônomo e matemático Pierre-Simon Laplace (1749--1827), se sobressaiu ao resolver, ainda jovem, um problema de gravitação mútua que tinha frustrado Euler e Lagrange. Seu trabalho contribuiu para a análise do sistema solar. Laplace generalizou as leis da mecânica para sua aplicação ao movimento e às propriedades de corpos celestes, por isso precisou e desenvolveu resultados em cálculo de várias variáveis. Seu famoso tratado sobre este assunto foi intitulado Mécanique celeste. Em 1782, Adrien Legendre (1752--1833) venceu um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim com seu trabalho sobre balística exterior. Analisou a curva descrita pelas bolas de canhão, levando em consideração a resistência do ar e desenvolveu relações para alcance dadas as velocidades iniciais. Legendre pôde desenvolver estas equações a partir de seu trabalho avançado em equações diferenciais e cálculo de várias variáveis.

Sylvestre François Lacroix (1765--1843) escreveu um tratado importante sobre cálculo em 1797. Em seu livro, unificou e generalizou muitos métodos para incluir cálculo de várias variáveis. Enquanto Lacroix seguiu muitos dos fundamentos estabelecidos por Euler, também incorporou resultados obtidos no final do século 18 ao seu texto. Seu tratado expandiu o papel do cálculo de várias variáveis nas ciências. O matemático francês Joseph Fourier (1768--1830) também aplicou cálculo para resolver problemas práticos em ciência. Por sua habilidade, foi selecionado por Napoleão para ir numa expedição ao Egito como consultor técnico em engenharia e pesquisa técnica. Posteriormente, Fourier continuou sua pesquisa matemática usando seu entendimento de derivadas parciais e de cálculo de várias variáveis. Fourier fez contribuições para o estudo e cálculo de difusão de calor e para a solução de equações diferenciais. Muito daquele trabalho aparece em seu influente livro Théorie analytique de la chaleur.

À frente daqueles que contribuíram para o cálculo de várias variáveis estava Carl Friedrich Gauss (1777-1855). As conquistas de Gauss em ciências e matemática foram assombrosas. Seu desenvolvimento de uma teoria de órbitas planetárias foi publicado em 1809. Gauss desenvolveu e provou o Teorema da Divergência enquanto trabalhava na teoria de gravitação, mas suas